6. Аксиоматическое определение вероятности.

Определение вероятности через интуитивное понятие частоты появления события едва ли подходит для строгого изложения теории вероятностей. Поэтому современная теория опирается на аксиоматическое определение вероятности.

Введём следующее определение. Пусть – пространство элементарных событий. Система подмножеств из называется алгеброй, если выполнены следующие условия (аксиомы):

а) ;

б) , т.е. если является событием, то и тоже является событием;

в) , , т.е. если и – события, то и их объединение также является событием.

Из условия «в» следует, что если ( – конечное число) – события, то и их объединение является событием, т.е. .

Класс множеств называется -алгеброй, если он удовлетворяет условиям «а» и «б»определения алгебры и следующему условию: если принадлежат , то и их объединение тоже принадлежит .

Из условий «а» и «б» при следует, что , т.е. невозможное событие принадлежит . Далее, согласно формуле дополнения и равенству , получаем , т.е. пересечение бесконечного числа событий принадлежит , если события принадлежат . Для любых событий и из справедливо соотношение . Отсюда следует, что если события и принадлежат , то разность этих событий тоже принадлежит .

Итак, если – -алгебра подмножеств пространства , то содержит достоверное событие, невозможное событие , противоположное событие, разность двух любых событий, объединение и пересечение конечного или счётного числа принадлежащих событий.

Пример 6.1. Пусть – произвольное множество. Совокупность , состоящая из пустого множества и множества , является алгеброй.

В самом деле, , т.е. аксиома «а» выполнена. Далее и , т.е. дополнения множеств из принадлежат . Наконец, , т.е. аксиома «в» выполнена. Таким образом, система множеств есть алгебра.

Пример 6.2. Пусть – множество, состоящее из трёх элементов . Система множеств

,

состоящая из множеств, как легко убедиться, является алгеброй.

Сформулируем аксиоматическое определение вероятности. Пусть – пространство элементарных событий, а – некоторая система подмножеств , называемых событиями. Действительная функция , ставящая каждому событию в соответствие число , называется вероятностной мерой, а число – вероятностью события , если выполненные приведённые ниже условия (аксиомы вероятности).

1) , .

2) .

3) Для любой последовательности попарно несовместных событий выполняется соотношение

.

Из аксиом 1) – 3) можно вывести основные свойства вероятности.

1⁰. .

2⁰. , .

Исходя из аксиом 1) – 3) и свойств 1⁰ – 2⁰ нетрудно убедиться, что аксиоматически определённая вероятность удовлетворяет свойствам 1⁰ – 8⁰, установленным для классически определённой вероятности.

Пусть – пространство элементарных событий, – множество событий пространства , а – вероятностная мера, определённая на . Тогда тройка называется вероятностным пространством.

18

© Гуров Владимир Владимирович, 2012