Тема: Условная вероятность
-
Понятие условной вероятности.
Вероятность события зависит от условий, при которых осуществляется опыт.
Пример 1.1. В семье два ребёнка: а) Какова вероятность того, что оба ребёнка – мальчики? б) Если известно, что один из детей – мальчик, то какова вероятность того, что оба ребёнка – мальчики? в) Известно, что старший ребёнок – мальчик. Какова вероятность того, что оба – мальчики?
D Обозначим: М – мальчик, Д – девочка. Событие ММ означает, что оба ребёнка – мальчики, причём старший мальчик – второй.
а) Пространство
элементарных событий
и, значит,
.
б) Элементарное
событие ДД
исключается, поэтому
,
и тогда
.
в) Имеем
,
т.е.
.
▲
Этот пример показывает, что вероятность некоторого события существенно зависит от того, осуществились или нет некоторые условия.
Вероятность события
при условии, что событие
произошло, называется условной
вероятностью
события
и обозначается
или
.
Эта вероятность определяется равенством
(1.1)
при условии, что
.
Обоснуем формулу (1.1) в случае пространства событий с конечным числом исходов.
Пусть общее число
исходов равно
,
событию
благоприятствует
исходов, событию
–
исходов, а совместному событию
–
исходов. Тогда
,
.
Условная вероятность
наступления события
при условии, что событие
произошло, должна вычисляться не по
всем
исходам, а только по тем
исходам, в результате которых наступило
событие
,
т.е.
.
Аналогично для
условной вероятности
по формуле (1.1) имеем
,
.
(1.2)
Из равенств (1.1) и (1.2) получаем формулу умножения вероятностей:
.
(1.3)
Пример 1.2. В коробке 3 красных и 7 синих шаров. Наугад извлекается один шар, затем второй. Найти вероятность того, что первый шар красный, а второй – синий.
D
Пусть событие
означает, что первый взятый шар –
красный, а
– что второй
шар синий. Тогда
.
Так как после извлечения красного в
коробке осталось 9 шаров, условная
вероятность
.
Тогда по формуле (1.3) искомая вероятность
.
▲
Теорема
1.1
(умножения вероятностей). Для
произвольных событий
справедлива формула
.
(1.4)
D
Докажем эту формулу для случая
.
Согласно формуле (1.3), последовательно
будем иметь
.
▲
Пример
1.3.
Кодовая
комбинация состоит из 10 импульсов трёх
форм:
,
и
,
причём в каждой кодовой комбинации 3
импульса имеют форму
,
2 импульса – форму
,
5 импульсов – форму
.
Найти вероятность прихода первых трёх
импульсов в последовательности
.
D Согласно формуле (1.4), искомая вероятность
.
По условию
,
,
так как импульс
уже пришёл и осталось 9 возможностей
для двух импульсов формы
.
Далее
,
так как импульсы
и
пришли и для 5 импульсов формы
осталось 8 возможностей. Таким образом,
.
▲
-
Независимые события.
События
и
называются независимыми,
если появление одного из них не меняет
вероятности появления другого, т.е.
или
.
(2.1)
Для двух независимых событий формула умножения вероятностей принимает вид
,
(2.2)
т.е. вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.
Если
и
независимые события, то независимы
также события: а)
и
;
б)
и
;
в)
и
.
Докажем, например,
независимость событий
и
.
В самом деле, если
и
независимы, то
.
Так как
,
то
,
т.е.
и
независимые события.
События
называются попарно
независимыми,
если любая пара их независима, т.е.
,
.
События
называются независимыми
в совокупности,
если при любом выборе различных событий
из данной совокупности выполняется
равенство
.
(2.3)
Ясно, что из независимости событий в совокупности следует их попарная независимость. Однако попарная независимость событий не гарантирует их независимости в совокупности.
Если события
независимы в совокупности, то из
определения (2.3) получаем равенство
,
(2.4)
обобщающее формулу (2.2).
Из формул (2.4) и
(4.6) (Тема: Вероятность события) следует
утверждение: вероятность появления
хотя бы одного события
из независимых в совокупности событий
.
(2.5)
Пример
2.1.
Вероятность
попадания в цель из трёх винтовок
;
;
соответственно, где
– попадание
в мишень
-м
стрелком,
.
Найти вероятность: а) хотя бы одного
попадания; б) только одного попадания.
D
а) Попадание в цель из каждой винтовки
не зависит от результата стрельбы из
других винтовок, т.е. стрельба из винтовок
– независимые в совокупности события.
Промах является событием, противоположным
попаданию. Для этих винтовок вероятности
промаха
;
;
соответственно. Тогда, согласно равенству
(2.5), искомая вероятность
.
б) Только одно
попадание в мишень может осуществиться
в одной из трёх ситуаций: 1) 1-й стрелок
поразил цель, 2-й и 3-й стрелки промахнулись
– событие
;
2) 2-й стрелок попал, а 1-й и 3-й промахнулись
– событие
;
3) 1-й и 2-й стрелки промахнулись, а третий
попал –
событие
.
События
,
и
несовместны. Тогда искомая вероятность
попадания в мишень только одним стрелком
.
▲