5. Локальная предельная теорема Муавра – Лапласа.

Приближённую формулу для вычисления вероятности устанавливает

Теорема 5.1 (локальная теорема Муавра – Лапласа). Пусть вероятность события в независимых испытаниях равна , . Тогда вероятность того, что в этих испытаниях событие наступит раз, удовлетворяет при соотношению

,

где ; .

Другими словами, при больших имеет место приближённая локальная формула Муавра – Лапласа

, (5.1)

где

. (5.2)

Формула (5.1) даёт удовлетворительное значение вероятности при достаточно больших значениях , а также, если не слишком близко к 0 или 1.

Для функции , определённой равенством (5.2), составлены таблицы, которые можно найти в рекомендуемой литературе. Так как функция чётная, то в таблицах приводятся её значения только для .

Пример 5.1. По данным ОТК радиозавода, 0,8 всего объёма выпускаемых транзисторов не имеют дефектов. Найти вероятность того, что среди взятых наугад 400 транзисторов дефекты будут иметь 80.

D В задаче , , , , . По таблице значений функции (5.2) находим, что . Тогда по формуле (5.1) искомая вероятность

.

Заметим, что при вычислении этой вероятности по формуле Бернулли получается громоздкое выражение . ▲

6. Интегральная предельная теорема Муавра – Лапласа.

На практике при большом числе испытаний и не слишком малой вероятности важно оценить вероятность того, что число появлений события лежит в некоторых границах. Эту оценку устанавливает

Теорема 6.1 (интегральная теорема Муавра – Лапласа). Пусть – число наступления события в серии из независимых испытаний, – вероятность наступления события при каждом испытании, . Тогда вероятность того, что в этих испытаниях событие появится не менее раз и не более раз, удовлетворяет при соотношению

,

где ; .

Другими словами, при больших значениях имеет место приближённая интегральная формула Муавра – Лапласа

, (6.1)

где

. (6.2)

Функция (6.2) называется функцией Лапласа, или интегралом ошибок. Функция (6.2) нечётная, т.е. . Для значений при составлены таблицы, которые можно найти в рекомендуемой литературе.

Оценка погрешности при использовании формулы (6.1) показывает, что эта формула обеспечивает хорошую точность уже при значениях .

Пример 6.1. Найти вероятность того, что при 10000 бросаниях монеты цифра выпадет: а) не менее 4000 и не более 6000 раз; б) не более 4000 раз; в) не менее 6000 раз.

D а) Вероятность выпадения цифры , тогда . Далее, , , . Определяем и :

; .

Тогда, согласно таблице значений для , искомая вероятность приближённо

.

б) Аналогично с учётом таблицы вероятность

.

в) Вероятность

. ▲

Пусть – число испытаний, – вероятность появления события в каждом испытании, – относительная частота появления события . Найдём вероятность того, что отклонение относительной частоты от вероятности по абсолютной величине не превосходит заданного числа .

Задача состоит в отыскании вероятности , т.е. , . Из интегральной формулы Муавра – Лапласа следует, что

; .

Тогда искомая вероятность

. (6.3)

Пример 6.2. Вероятность того, что деталь нестандартная, равна 0,1. Сколько деталей нужно отобрать, чтобы с вероятностью 0,9544 можно было утверждать, что относительная частота появления нестандартных деталей отклоняется от постоянной вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,03?

D Имеем , , , . Требуемое число найдём по формуле (6.3):

,

т.е. . По таблице находим, что , или . ▲

1 Томас Байес (1702 – 1761) – английский математик.

13

© Гуров Владимир Владимирович, 2012