- •Тема: Условная вероятность
- •Понятие условной вероятности.
- •Независимые события.
- •Формула полной вероятности.
- •Формула Байеса1.
- •Тема: Последовательность независимых испытаний
- •Биномиальное распределение вероятностей.
- •Наивероятнейшее число появлений события.
- •Предельные теоремы в схеме Бернулли. Распределение Пуассона.
- •Локальная предельная теорема Муавра – Лапласа.
- •Интегральная предельная теорема Муавра – Лапласа.
-
Формула полной вероятности.
Пусть события попарно независимы и образуют полную группу событий, т.е. . Такие события иногда называют гипотезами. Имеет место
Теорема 3.1 (о полной вероятности). Вероятность события , которое может наступить лишь при появлении одного из несовместных событий , образующих полную группу событий, равна сумме произведений вероятностей каждой из гипотез на соответствующую условную вероятность события , т.е.
. (3.1)
Равенство (3.1) называется формулой полной вероятности.
D Так как , то
,
причём события попарно несовместны в силу попарной несовместности гипотез , . Тогда по формуле (4.2) (Тема: Вероятность события)
.
Применив к каждому слагаемому в правой части формулу (1.3), получим равенство
,
совпадающее с равенством (3.1). ▲
Пример 3.1. В лаборатории имеется 6 мини-ЭВМ и 4 микрокалькулятора. Вероятность того, что во время выполнения расчёта мини-ЭВМ не выйдет из строя, равна 0,95, для микрокалькулятора эта вероятность равна 0,8. Найти вероятность того, что взятое наугад вычислительное устройство не выйдет из строя до окончания расчёта.
D Пусть – событие, состоящее в том, что вычислительное устройство не выйдет из строя. Это событие может произойти с одной из гипотез: – взята мини-ЭВМ, – взят микрокалькулятор. Тогда , и по условию задачи , . По формуле полной вероятности искомая вероятность
. ▲
-
Формула Байеса1.
С формулой полной вероятности тесно связана формула Байеса. Она даёт возможность определить условные апостериорные (после опыта) вероятности , , если известны априорные (до опыта) вероятности гипотез , образующих полную группу событий. Эта формула имеет вид
, . (4.1)
Для её вывода достаточно в формуле условной вероятности записать числитель по формуле произведения вероятностей (1.3), а знаменатель – по формуле полной вероятности (3.1).
Пример 4.1. В канцелярии работают 4 секретарши, которые отправляют 40, 10, 30 и 20 % исходящих бумаг. Вероятности неверной адресации бумаг секретаршами равны 0,01; 0,04; 0,06 и 0,01 соответственно. Найти вероятность того, что документ, неверно адресованный, отправлен третьей секретаршей.
D Введём гипотезы – документ отправила -я секретарша, . Тогда по условию задачи ; ; ; . Обозначим через событие, состоящее в том, что документ адресован неверно. Тогда по условию ; ; ; и искомая вероятность
.
Итак, 3-я секретарша допускает примерно 39 % всех ошибок. ▲
Тема: Последовательность независимых испытаний
-
Схема испытаний Бернулли.
Пусть производится серия из испытаний, в каждом из которых может произойти или не произойти событие . При этом представляет интерес исход не каждого отдельного испытания, а общее число появления события в результате определённого числа опытов.
Последовательные испытания называются независимыми, если вероятность осуществления любого исхода в каждом -м испытании не зависит от реализации исходов предыдущих испытаний. Легко представить испытания с двумя возможными исходами и , где означает, например, «успех», а – «неудачу», причём в каждом испытании вероятность «успеха» и вероятность «неудачи» постоянны. Серию независимых испытаний с одной и той же вероятностью «успеха» называют испытаниями или схемой Бернулли.
Обозначим через вероятность появления раз события в серии из независимых испытаний. Тогда справедлива формула Бернулли
. (1.1)
D Действительно, вероятность того, что при испытаниях событие наступит раз и, следовательно, не появится раз, согласно формуле (2.4) (Тема_02) умножения вероятностей событий, равна . Но событие может наступить при любом из возможных испытаний. Так как число возможных комбинаций элементов из равно , а комбинации между собой несовместны, то по формуле (4.2) (Тема_01) искомая вероятность
. ▲
Пример 1.1. Производится 4 выстрела по мишени. Вероятность попадания при каждом выстреле . Найти вероятность двух попаданий.
D Стрельба по мишени есть последовательность независимых опытов (выстрелов) с постоянными вероятностями попадания и непопадания при каждом выстреле. По формуле Бернулли
. ▲