Тема: Числовые характеристики скалярных случайных величин

К числовым характеристикам с.в. относятся: математическое ожидание, дисперсия, моменты различных порядков и т.д.

1. Математическое ожидание.

Пусть – дискретная с.в., принимающая значения с вероятностями соответственно.

Математическим ожиданием (м.о.) или средним значением с.в. называется число

(1.1)

в предположении, что этот ряд сходится абсолютно.

Если же ряд расходится, то говорят, что с.в. не имеет конечного м.о.

Если – непрерывная с.в. с плотностью вероятности , то её м.о. определяется интегралом

(1.2)

при условии, что он сходится абсолютно.

Пусть – дискретная с.в. с законом распределения (2.1) (Тема: Скалярные случайные величины), а – функция этой с.в. Тогда закон распределения с.в. имеет вид табл. 7.1 (Тема: Скалярные случайные величины). Согласно равенству (1.1), м.о. случайной величины определяется формулой

.

Если же – непрерывная с.в. с плотностью вероятности , то, обобщая предыдущие рассуждения, получаем формулу для м.о. случайной величины в виде

. (1.3)

Пример 1.1. В денежной лотерее выпущено 200 билетов. Разыгрывается один выигрыш в размере 50 руб., два – по 25 руб., десять – по 1 руб. Найти среднюю величину выигрыша, если куплен один билет.

D Согласно примеру 2.1 (Тема: Скалярные случайные величины), закон распределения с.в. – выигрыша – имеет вид (2.2) (Тема: Скалярные случайные величины).

По формуле (1.1) средняя величина выигрыша

(руб.)

Итак, средний выигрыш в лотерее равен 55 коп. ▲

Пример 1.2. Плотность распределения вероятностей с.в. имеет вид

Найти .

D По формуле (1.3) . ▲

Выясним основные свойства математического ожидания.

1⁰. М.о. числа появлений события в одном испытании равно вероятности этого события.

2⁰. М.о. постоянной неслучайной величины равно .

3⁰. Постоянный неслучайный множитель можно выносить за знак математического ожидания.

4⁰. Для любых случайных величин (зависимых или независимых) м.о. суммы с.в. и равно сумме м.о. этих величин:

. (1.4)

5⁰. Для независимых случайных величин м.о. произведения с.в. и равно произведению м.о. этих с.в., т.е.

. (1.7)

Пример 1.3. Найти м.о. суммы числа очков, которые могут выпасть при бросании двух игральных костей.

D Пусть и – число выпавших очков на первой и второй кости соответственно. Дискретные с.в. и принимают значения 1, 2, 3, 4, 5 и 6 с одинаковой вероятностью . Тогда по формулам (1.4) и (1.1) искомое м.о.

. ▲

2. Дисперсия.

М.о. характеризует среднее значение с.в. Отклонением с.в. от своего математического ожидания (среднего значения) называется с.в. . Часто величина называется центрированной с.в.

Дисперсией или рассеянием случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания:

. (2.1)

Корень квадратный из дисперсии называется средним квадратическим (квадратичным) отклонением с.в. и обозначается , так что .

Для дискретной с.в. , принимающей значения с вероятностью , , дисперсия определяется равенством

, (2.2)

где .

Для непрерывной с.в. дисперсия определяется равенством

, (2.3)

если этот интеграл существует. Здесь – плотность вероятности с.в. .

Из свойств м.о. и определения дисперсии имеем

.

Итак, для дискретной с.в.

. (2.4)

Для непрерывной с.в. равенство (2.4) имеет вид

. (2.5)

Формулы (2.4) и (2.5) более удобны для вычисления дисперсии.

Замечание. Из определения дисперсии (2.1) с.в. следует, что . Если дисперсия мала, то каждый член суммы (2.2) тоже мал. Следовательно, значение , при котором велико, должно иметь малую вероятность. Другими словами, при малой дисперсии большие отклонения с.в. от её м.о. маловероятны. Равенство означает, что для тех значений , вероятность которых равна нулю. Иначе говоря, означает, что с вероятностью, равной единице.

Пример 2.1. Найти дисперсию с.в. , заданной законом распределения вероятностей

D Находим м.о.: . Так как закон распределения с.в. имеет вид

то , и по формуле (2.4) . ▲

Пример 2.2. Найти дисперсию с.в. , функция распределения которой

D Находим плотность вероятности

Далее,

;

.

По формуле (2.5) искомая дисперсия

. ▲

Установим свойства дисперсии.

1⁰. Дисперсия постоянной неслучайной величины равна нулю.

Действительно, .

2⁰. Постоянный неслучайный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат: .

В самом деле,

.

3⁰. Дисперсия суммы или разности независимых с.в. и равна сумме дисперсий этих величин: .

D Так как и независимые с.в., то и, следовательно,

.

Итак, . Отсюда и из свойства 2⁰ дисперсии получим

. ▲