3. Методы нахождения точечных оценок.

Универсального метода нахождения оценки параметра не существует. Имеется несколько хорошо зарекомендовавших себя методов нахождения этих оценок. Рассмотрим некоторые из них.

1) Метод моментов (Пирсона¹). Пусть известен закон распределения случайной величины , содержащий неизвестные параметры . Произведем выборку объёма этой с.в. По методу моментов выборочных моментов приравниваются к первым моментам с.в. . Из полученной системы уравнений и находим оценки параметров . Как правило, эти оценки состоятельны.

Теоретическим обоснованием метода моментов служит закон больших чисел, согласно которому для рассматриваемого случая при большом объёме выборки выборочные моменты близки к истинным моментам генеральной совокупности. Например, пусть – с.в., распределённая по нормальному закону . Известно, что – начальный момент первого порядка, а – центральный момент второго порядка, которые согласно формуле (5.7) (Тема: Первичная обработка выборок), можно оценить выборочным начальным моментом первого порядка и выборочным центральным моментом второго порядка соответственно. Тем самым по методу моментов неизвестное математическое ожидание оценивается средним арифметическим , а дисперсия – выборочной дисперсией .

Пример 3.1. С.в. распределена по показательному закону с плотностью вероятности , . По результатам выборки оценить параметр .

D Найдём начальный момент первого порядка:

.

Выборочный же начальный момент первого порядка

.

Отсюда и из предыдущего равенства получаем

. ▲

2) Метод наименьших квадратов. Пусть требуется измерить некоторую величину и по результатам измерений , , где – ошибки измерений, а – точное значение измеряемой величины.

По методу наименьших квадратов требуется найти такое значение , являющееся оценкой неизвестного параметра , которое минимизирует функцию

, (3.6)

т.е. минимизирует сумму квадратов отклонений выборочных данных от параметра .

Пример 3.2. По методу наименьших квадратов найти оценку выборочного среднего генеральной совокупности.

Δ Пусть – выборка. Составим функцию и найдём её минимум. Из необходимых условий минимума имеем

. ▲

4. Интервальные оценки.

После получения точечной оценки параметра желательно иметь данные о надёжности этой оценки, например, указать интервал , внутри которого с вероятностью находится точное значение оценивающегося параметра . Задачу получения такого интервала называют интервальным оцениванием, а сам интервал – доверительным.

Для её решения заранее выбирают число , , называемое коэффициентом доверия или уровнем значимости, и находят два других числа и , зависящих от оценки , так что

. (4.1)

Число называется доверительной вероятностью или надёжностью, с которой оцениваемый параметр покрывается интервалом . В связи с этим говорят, что доверительный интервал накрывает оцениваемый параметр с вероятностью или в случаев. Границы и доверительного интервала называются доверительными. От доверительных интервалов, основанных на всех возможных выборках объёма , ожидается, что их содержит истинное значение . На практике обычно выбираются значения , что соответствует 90-, 95- и 99 %-ным доверительным интервалам соответственно.

В прикладных статистических задачах длина доверительного интервала играет важную роль: чем меньше его длина, тем точнее оценка. Если длина этого интервала велика, то ценность такой оценки незначительна.