3. Математическое ожидание и дисперсия основных законов распределения случайных величин.

1) Для биномиального закона распределения . Здесь – вероятность числа – появлений события раз в серии из независимых испытаний, – вероятность появления события в одном испытании, . По формулам (1.1) и (2.4)

;

. (3.1)

Для вычисления этих сумм воспользуемся формулой бинома Ньютона:

.

Продифференцировав равенство по , получим

. (3.2)

Из соотношения (3.2) при с учётом равенства будем иметь

.

Отсюда и из первого равенства (3.1) следует, что м.о.

. (3.3)

Далее, дифференцируя равенство (3.2) по , получаем

.

Отсюда при , , согласно формуле (3.3), имеем:

.

Таким образом, . Из этого соотношения, согласно второму равенству (3.1), и так как , получим

.

Итак, для биномиального закона распределения вероятностей дисперсия

. (3.4)

2) Найдём м.о. и дисперсию закона распределения Пуассона:

, ,

где – параметр распределения.

Имеем

.

Далее, с учётом равенства получаем

.

Итак, выяснен смысл параметра распределения Пуассона: .

3) Для равномерного распределения с.в. с плотностью вероятности

имеем

;

.

4) Для нормального распределения с.в. с плотностью вероятности

имеем

.

Согласно интегралу Пуассона , первый интеграл в правой части этого равенства равен . Второй же интеграл равен нулю как интеграл от нечётной функции по бесконечному симметричному промежутку. Таким образом, для нормального распределения имеем .

Далее, по формуле (2.3)

.

Итак, смысл параметров и нормального распределения с.в. следующий: , .

5) Для экспоненциального закона распределения с.в. с плотностью вероятности

будем иметь:

;

.

4. Мода и медиана случайной величины.

Модой дискретной с.в. называется её наиболее вероятное значение, т.е. значение, вероятность которого наибольшая.

Модой непрерывной с.в. называется её значение, при котором плотность вероятности распределения с.в. максимальная.

Будем обозначать моду с.в. через .

Медианой с.в. называется такое её значение , для которого

; , (4.1)

т.е. медиана делит область значений с.в. на две равные по вероятности части.

Если известна функция распределения с.в. , то очевидно, что медиана есть решение (любое) уравнения . Медиана может быть не единственной. За медиану принимают любую точку, в которой функция переходит от значений меньших 0,5, к значениям, большим 0,5: , .

Геометрически мода является абсциссой той точки кривой распределения с.в. (непрерывной), ордината которой максимальна. Аналогично медиану можно истолковать как точку, в которой ордината делит пополам площадь, ограниченную кривой плотности распределения (рис. 4.1).

Рис. 4.1

Для нормального распределения

.

Пример 4.1. Найти моду и медиану дискретной с.в., распределённой по закону

	10	20	30	40
	0,2	0,15	0,25	0,4

D Из таблицы видно, что наибольшую вероятность имеет значение , т.е. .

Для значения имеем и . Отсюда и из соотношений (4.1) получаем, что . Из графика функции распределения этой с.в. (рис. 4.2) следует, что и . ▲

Рис. 4.2 Рис. 4.3

Пример 4.2. Найти моду и медиану с.в. , если плотность вероятности её

D График изображён на рис. 4.3. Так как при , то .

Для нахождения медианы решим уравнение , т.е. . Следовательно, . ▲