-
Функции от дискретных случайных величин.
Пусть
– дискретная с.в. с законом распределения
,
.
Рассмотрим с.в.
,
где
– заданная функция.
Если с.в.
принимает значения
,
то очевидно, что с.в.
принимает значения
с вероятностями
соответственно. Если значения
различны, закон распределения с.в.
имеет вид табл. 7.1.
Таблица 7.1
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если же
,
,
то в силу несовместности событий
и
получаем
.
Отсюда по теореме сложения вероятностей
несовместных событий
.
Пример
7.1.
Найти
закон распределения с.в.
,
если закон распределения с.в.
задан таблицей
|
|
–3 |
–2 |
0 |
2 |
3 |
5 |
|
|
0,1 |
0,2 |
0,3 |
0,1 |
0,1 |
0,2 |
D
С.в.
принимает значения 0, 4, 9, 25, причём
значения 4 и 9 она принимает при
и
соответственно. Тогда закон распределения
вероятностей с.в.
запишется в виде таблицы
|
|
0 |
4 |
9 |
25 |
|
|
0,3 |
0,2+0,1=0,3 |
0,1+0,1=0,2 |
0,2 |
▲
-
Функции от непрерывных случайных величин.
Рассмотрим
зависимость
между с.в.
и
и найдём закон распределения
функции
по известному закону распределения
с.в.
.
Пусть с.в.
имеет функцию распределения
,
а
– действительная функция, непрерывная
на
.
Тогда сложная функция
является с.в. Для любого
событие
,
где
– прообраз промежутка
.
Из последнего равенства получим, что
функция распределения
искомой с.в.
имеет вид
.
(8.1)
Пример
8.1.
Пусть
с.в.
имеет функцию распределения
.
Найти функцию распределения
с.в.
.
D
Так как
,
то ясно, что
.
При
на основании формулы (8.1) и соотношения
(3.7) имеем
.
Итак, функция
распределения с.в.
есть
(8.2)
Плотность вероятности
с.в.
по известной плотности
с.в
определяется дифференцированием функции
(8.2) по
:
▲
Выясним, как по
известной плотности вероятности
с.в.
найти плотность вероятности
с.в.
.
Имеет место
Теорема 8.1.
Пусть
– монотонная функция для всех
,
а
– обратная ей функция. Тогда плотность
вероятности
с.в.
имеет вид
,
(8.3)
где
– плотность вероятности с.в.
.
Пример
8.2.
С.в.
распределена нормально с плотностью
.
Найти плотность вероятности с.в.
.
D
Функция
строго монотонно возрастает для всех
.
Обратная ей функция
,
откуда
.
По формуле (8.4) искомая плотность
вероятности
.
▲
Замечание.
Если функция
немонотонная, то обратная функция
неоднозначна, т.е. одному значению
соответствует несколько значений
:
,
,
…,
.
В этом случае плотность вероятности
с.в.
определяется формулой
.
(8.6)