5. Плотность вероятности случайной величины.

Плотностью вероятности с.в. или дифференциальной функцией распределения называется предел

, (5.1)

если он существует.

Пусть – функция распределения с.в. . Если существует , то равенство (5.1) равносильно соотношению

. (5.2)

Итак, плотность вероятности равна производной от функции распределения.

Выясним свойства плотности вероятности.

1⁰. Функция , .

2⁰. Справедливо равенство

. (5.3)

3⁰. Если – плотность вероятности с.в. , то

. (5.4)

4⁰. Имеет место соотношение

, (5.5)

называемое условием нормировки.

Пример 5.1. Плотность вероятности с.в. есть , , . Найти: а) коэффициент ; б) функцию распределения ; в) вероятность попадания с.в. в интервал .

D а) Из условия нормировки (5.5) имеем

.

Следовательно, .

б) По формуле (5.4)

.

в) Согласно равенству (3.7),

. ▲

Пример 5.2. Найти функцию распределения с.в. , плотность вероятности которой определена функцией

D Чтобы найти функцию распределения , воспользуемся формулой (5.4).

При получаем .

При находим

.

Когда , то

.

При получаем

.

Таким образом, искомая функция распределения имеет вид

Рис. 5.2

Рис. 5.3

Графики функций и изображены на рис. 5.2 и 5.3 соответственно. ▲

6. Законы распределения некоторых случайных величин.

Приведём несколько наиболее употребительных законов распределения с.в.

1) Биномиальный закон. В схеме испытаний Бернулли функция распределения имеет вид ступенчатой функции с разрывами в точках , причём величина скачка в точке равна (см. пример 2.2).

2) Распределение Пуассона. С.в. называется распределённой по закону Пуассона, если она принимает дискретные значения из ряда чисел с вероятностями

,

где – параметр распределения.

Покажем, что . Действительно,

.

3) Равномерное распределение. С.в. называется равномерно распределённой на отрезке , если её плотность вероятности

(6.1)

Функция распределения равномерно распределённой с.в. получена в примере 4.2. Графики функций и изображены на рис. 6.1, а и б соответственно.

Рис. 6.1

Рис.6.2

4) Нормальное распределение (распределение Гаусса). С.в. называется распределённой по нормальному закону или имеет гауссовское распределение, если её плотность вероятности имеет вид

, . (6.2)

Согласно формуле (5.4), её функция распределения

. (6.3)

Как видно из формул (6.2) и (6.3), нормальное распределение зависит от параметров и и полностью определяется ими. Графики функций и изображены на рис. 6.2, а и б соответственно. Максимум ординаты кривой равен . Отсюда следует, что чем больше , тем шире кривая и тем ниже её максимум. График плотности симметричен относительно прямой . В сокращённом виде нормальное распределение записывается так: или . При , получаем так называемое стандартное (нормированное) нормальное распределение

. (6.4)

Для функции (6.4) имеет место соотношение . Для значений при составлены таблицы, которые можно найти в рекомендуемой литературе.

5) Экспоненциальное распределение. С.в. называется распределённой по экспоненциальному закону, если плотность распределения вероятностей

(6.4)

Отсюда функция распределения

(6.5)

Пример 6.1. Найти функцию распределения случайной величины , распределённой по нормальному закону, через функцию Лапласа.

D В соответствии с формулой (6.3)

.

Переходим к новой переменной , тогда , . Поэтому

,

, (6.6)

где – функция Лапласа, определяемая формулой (6.2) (Тема: Последовательность независимых испытаний).

Здесь принято во внимание, что

.

Это равенство следует из цепочки равенств:

(интеграл Пуассона)

,

так как – чётная функция.

Согласно равенствам (3.7) и (6.6), вероятность попадания значений нормально распределённой случайной величины в интервал определяется формулой

. ▲ (6.7)