Тема: Скалярные случайные величины

1. Понятие случайной величины.

Случайной величиной (с.в.) называют величину, которая в результате испытания принимает то или иное возможное значение, заранее неизвестное и зависящее от случайных обстоятельств.

Примерами с.в. являются: сумма выпавших очков на верхних гранях при подбрасывании двух игральных костей; число появления события в схеме испытаний Бернулли; число вызовов, поступающих на АТС в течение определённого времени; дальность полёта снаряда при выстреле из орудия и т. д.

Дадим строгое определение скалярной с.в. Пусть – вероятностное пространство и – действительная функция, определённая на . Обозначим через для каждого множество всех точек , удовлетворяющих условию , т.е.

, . (1.1)

Кратко соотношение (1.1) записывается в виде или .

Действительная функция , определённая на пространстве событий , называется случайной величиной, если для любого множество принадлежит , т.е. является событием. Скалярная с.в. присваивает действительное значение каждой точке .

Обычно рассматривают два типа с.в.: дискретные и непрерывные. Дискретной называется такая с.в., которая принимает конечное или счётное множество значений. Дискретная с.в. используется при описании измерений, принимающих целочисленные значения: число дефектных изделий, число телефонных вызовов, число неисправностей в приборе и т.д.

Для некоторых с.в. число возможных значений, принимаемых этой величиной, бывает настолько велико, что удобнее представлять измерения в виде непрерывных с.в., которые принимают любое значение в некотором интервале, например продолжительность работы электролампы, дальность полёта снаряда и т.д.

2. Закон распределения вероятностей случайной величины.

Для полного описания дискретной с.в. недостаточно знать её возможные значения. Необходимо, кроме этого, охарактеризовать вероятности, с которыми принимаются эти значения. Такое полное описание дискретной с.в. называется законом распределения.

Пусть дискретная с.в. может принимать значения Обозначим вероятность того, что с.в. принимает значение , Таблица

(2.1)

называется таблицей распределения вероятностей дискретной с.в. или законом распределения дискретной с.в. В дальнейшем предполагается, что

Поскольку дискретная с.в. обязательно принимает одно из значений , то события образуют полную группу событий, поэтому .

Пример 2.1. В денежной лотерее выпущено 200 билетов. Разыгрывается один выигрыш в 50 руб., два выигрыша по 25 руб. и десять выигрышей по 1 руб. Найти закон распределения с.в. – величины выигрыша, если приобретён один билет.

D Возможные выигрыши следующие: , , , . Вероятность выиграть: 0 руб. – , так как 187 билетов из 200 безвыигрышные; 1 руб. – ; 25 руб. – ; 50 руб. – . Следовательно, закон распределения имеет вид

	0	1	25	50

(2.2) ▲

Пример 2.2. Рассмотрим закон распределения с.в. – числа появлений события при испытаниях Бернулли. Поскольку при испытаниях событие происходит раз с вероятностью , то закон распределения этой с.в. имеет вид

	0	1	2