Теорема о существовании цикла

Если nm n+m, то в любых выделенных n+m ячейках матрицы, имеющей n-строк и m-столбцов, можно построить единственный цикл.

Замечание: это не значит, что все выделенные ячейки являются вершинами цикла.

Доказательство теоремы о существовании цикла

Пусть матрица такова, что nm n+m.

Выберем в матрицы n+m ячеек и докажем, что существует цикл, все вершины которого лежат в выделенных ячейках. Доказательство проведем методом индукции по числу l=n+m.

База индукции. Минимальное значение l, при котором выполняется условие nm n+m равно 4 (при этом n=2 и m=2).

Положим, что l=4.

В этом случае n=2 и m=2 и существование нужного цикла очевидно. Следовательно база индукции доказана.

Шаг индукции.

Пусть мы доказали, что для l=n+m-1 теорема имеет место. Докажем, что она имеет место и для l=n+m. Возьмем матрицу и выделим в ней n+m ячеек. Сначала предположим, что одна из выделенных ячеек не имеет в своей строке или в своем столбце ни одной другой выделенной ячейки. Тогда вычеркнем из матрицы ту строку или столбец такой ячейки, в которой (или котором) нет больше выделенных ячеек. В полученной матрице останется n+m-1 выделенных ячеек и такое же число строк и столбцов. Значит, по индуктивному предположению в выделенных ячейках существует цикл. Но этот цикл будет циклом и в исходной матрице. Итак, в этом случае теорема доказана.

Предположим, что теперь, что для каждой выделенной ячейки есть другая выделенная ячейка и в ее строке, и в ее столбце.

Возьмем одну из выделенных ячеек. По условию у нее в строке и в столбце есть выделенная «соседка».

Перейдем от исходной выделенной ячейке к соседней ей выделенной ячейке, например, по строке. У этой ячейки есть соседняя выделенная ячейка по столбцу. Перейдем к ней, а от нее перейдем к выделенной по строке и так далее.

Поскольку ячеек конечное число, то рано или поздно мы придем к такой выделенной ячейке, в которой уже были. Тем самым мы получим требуемый цикл.

Распределительный метод решения тз

Роль цикла состоит в том, что на основании сформулированных теорем о ранге и существовании цикла мы имеем возможность перейти от одного решения системы ограничений к другому, что необходимо для реализации СМ.

Начнем с введения процедуры означивания цикла.

Пусть в матрице имеется некоторый цикл. Присвоим каждой вершине знак + или – следующим образом.

Одной из вершин цикла (назовем ее исходной) присвоим знак +. Выберем направление движения по циклу. Вершине, следующей за исходной, присвоим знак - . Далее, двигаясь по циклу каждый раз при переходе от одной вершине к соседней вершине, меняем знак на противоположный. В силу четности числа вершин цикла, при возвращении в исходную вершину мы снова получим знак +. Это означает, что данная процедура непротиворечива. Завершив ее, получим означенный цикл.

Сдвигом по циклу на величину а назовем процедуру, состоящую в прибавлении к существующему решению величины а в положительных вершинах означенного цикла и вычитанию из существующего решения этой же величины а в отрицательных вершинах. В прочих вершинах решение не меняется.