Сравнения
Определение
Два целых числа a
и b,
дающих при делении на натуральное число
m
один и тот же остаток:
,
,
0≤r<m
называются равноостаточными
или сравнимыми
между собой по модулю m.
Обозначение:
читаетсяa
сравнимо с b
по модулю m.
Теорема.
Если a сравнимо с b по модулю m, то разность a – b делится на m и наоборот, если разность a – b делится на m, то а сравнимо с b по модулю m.
Доказательство.
1) Пусть
.
Это означает, что
,
,
0≤r<m.
Тогда
.
2) Пусть
Представим число b в виде
. (а)
Тогда
. (б)
Представления (а)
и (б), означают, что
.
Свойства сравнений
1. Если
,
,
то
.
2. Сравнения с общим
модулем можно складывать и вычитать,
то есть
,
,
то
.
Следствие 1.
Члены сравнения можно переносить из одной части в другую с противоположным знаком.
Следствие2.
К одной части сравнения можно прибавлять или вычитать из нее любое число, кратное модулю.
3. Сравнения с общим
модулем можно почленно перемножать. То
есть если
,
,
то
.
Это свойство справедливо и для n сравнений.
4. Обе части сравнения
можно делить на их общий делитель, если
он взаимно прост с модулем m.
То есть, если
и (k,m)=1,
то
.
5. Обе части сравнения
и модуль можно умножить на одно и тоже
целое положительное число. То есть, если
,
то
.
6. Обе части сравнения
и модуль можно делить на любой их общий
делитель. То есть, если
,
,
,
,
то
.
7. Если числа сравнимы по нескольким модулям, то они сравнимы по модулю, равному НОК (наименьшее общее кратное) данных модулей. То есть, если
,
,
………………
,
то
,
где
.
8. Если одна часть сравнения и модуль делятся на какое-либо число, то и другая часть сравнения делится на это число.
Пример 1.
Показать, что если
n
– нечетное число, то 
.
Доказательство.
n=2k-1,
.
Здесь
Пример 2.
По утверждению
Ферма,
– простое число
.
Эйлер показал, что уже при n=5
получается число кратное 641. Проверить
это.
Решение.
Представим число
, (1)
. (2)
Из (1) имеем
или
. (3)
Из (2) следует, что
. (4)
Перемножим (3) и
(4) получается
.
Разделив обе части последнего сравнения
на 
,
получим
при n=5оно составное.
Вычеты и системы вычетов
Совокупность целые чисел, дающих при делении на натуральное число m (модуль) один и тот же остаток r, образует класс чисел по этому модулю m. Все числа данного класса в общем виде записывается так: mk+r, где k – любое целое число. Число всех классов равно m. Любое число класса называется вычетом по данному модулю (по отношению ко всем числам того же класса).
Чаще всего встречаются:
1. Полная система наименьших неотрицательных вычетов по модулю m, то есть система чисел 0,1,2,…,m-1.
2. Полная система наименьших по абсолютной величине не положительных вычетов по данному модулю m, то есть числа –(m-1),…,–2, –1,0.
3. Полная система абсолютно наименьших вычетов по модулю m.
Например, при m=5 этой системой будут числа –2, –1,0,1,2, при m=6:
–3, –2, –1,0,1,2, или –2, –1,0,1,2,3.
Определение.
Совокупность чисел, взятых из полной системы вычетов и взаимно простых с модулем m, называется приведенной системой вычетов по этому модулю m.