Лекция №15-16 Теория делимости.
Определение.
Пусть a и d – целые числа. Говорят, что d – делитель a, или что d делит a, или что a кратно d, или что a делится на d, если существует такое число c, что a = d ∙ c.
Обозначение: d|a
– d
делит a,
–a
делится на d.
Пример 1.
Докажите, что если d|a, d|b, то d|(a+b) и d|(a-b).
Доказательство.
Так как d|a,
то существует целое число
такое что
.
Так какd|b,
то существует целое число
,
такое что
.
Рассмотримa+b=d·
+d·
=d(
+
)=d·
,
где
– целое число. Итак,a+b=
d·
.
Значитd|(a+b)
(по определению). Аналогично доказывается,
что d|(a-b).
Пример 2.
Докажите, что если
d|a
и
,
тоd|(a·c).
Доказательство.
Так как d|a,
то существует целое число m
такое, что a=d·m.
Рассмотрим a·c=(d·m)
·c=d·
(m·c)=d·
,
где
– целое. Итак,a·c=d·
,
значит по определениюd|(a·c).
Справедливы следующие теоремы.
Теорема 1.
Если a кратно m, m кратно b, то a кратно b.
Доказательство.
По условию a
кратно m
и m
кратно b,
то a=m·
,
m=b·
где
и
– целые числа. Из последних двух равенств
получим a=b·
·
=b·
,
– целое,
значит a
кратно b.
Теорема 2.
Если в равенстве вида k+l+…+n=p+q+…+s относительно всех членов кроме какого-либо одного известно, что они кратны b, то и этот один член кратен b.
Доказательство.
Пусть таким одним членом будет k. Имеем
,…,
,
,
,…,
.
.
Таким образом, k – представляется произведением b на целое число
и тем самым делится
на b
согласно определению.
Теорема 3.
Всякое целое a представляется единственным способом с помощью натурального b равенством вида
a=b·q+r, 0 ≤r<b. (1)
Число q называется неполным частным, а число r – остатком от деления a на b.
Доказательство.
Одно представление числа равенством (1) получим, взяв bq равным наибольшему кратному числа b, не превосходящему числа a. Допустим, что существует еще одно представление числа a, в указанном ранее виде, то есть
.
(2)
Вычтем (2) из (1), получим
(3)
или
.(4)
кратна b.
Эта разность, как разность двух
неотрицательных чисел, меньших
b
сама будет
численно меньше b
и она кратна b.
Значит
.(5)
Из (5) и (3) следует,
что 
.
Таким образом (1) и (2) тождественны, то
есть представление (1) является
единственным.
Примеры.
177=14·12+9, 0<9<14;
-64=14·(-5)+6, 0<6<14;
154=14·11+0, 0=0<14.
Наибольший общий делитель
Всякое целое число делящее одновременно целые a,b,…,l – называется их общим делителем. Наибольший из общих делителей чисел a,b,…,l обозначают (a,b,…,l). Если (a,b,…,l)=1, то числа a,b,…,l называются взаимно простыми. Если каждое из чисел a,b,…,l взаимно просто с каждым другим из них, то числа называют попарно простыми. Очевидно, что числа попарно простые всегда и взаимно простые. В случае же двух чисел понятия «попарно простые» и «взаимно простые» совпадают.
Пример.
Найти НОД чисел 6, 10, 15.
Решение.
Выпишем все делители числа 6
±6, ±3, ±2, ±1.
Выпишем все делители числа 10
±10, ±5, ±2, ±1.
Выпишем все делителя числа 15
±15, ±5, ±3, ±1.
Общим делителем у всех трех чисел являются числа ±1. Наибольшим является 1.
Ответ: (6,10,15)=1.
Теорема.
Если a кратно b, то совокупность общих делителей чисел a и b совпадает с совокупностью делителей одного b; в частности (a,b)=b.
Доказательство.
Всякий общий делитель чисел a и b является делителем и одного b. Так как a кратно b, то всякий делитель числа b является так же делителем числа a, то есть является общим делителем чисел a и b. Таким образом, совокупность общих делителей чисел a и b совпадает с совокупностью делителей одного b. А так как наибольший делитель числа b есть само b, то (a,b)=b.
Теорема.
Если
a=b·q+c, (1)
то совокупность общих делителей чисел a и b совпадает с совокупностью общих делителей чисел b и c; в частности (a,b)=(b,c).
Доказательство.
Из (1) следует, что всякий общий делитель чисел a и b делит так же и c, следовательно, является общим делителем чисел b и c. Обратно, то же равенство показывает, что всякий общий делитель b и c делит a и, следовательно, является общим делителем чисел a и b. Таким образом, общие делители чисел a и b те же, что и общие делители чисел b и c; в частности, должны совпадать и наибольшие из этих делителей, то есть
(a,b)=(b,c).