7.2. Передаточные функции

Для решения любой задачи, связанной с расчетом АСУ, необходимо прежде всего дать математическое описание исследуемой системы с помощью алгебраических и дифференциальных уравнений. Различают два рода уравнений: уравнения статики или уравнения установившихся режимов и уравнения динамики или уравнения переходных процессов.

Уравнения статики, при которых возмущающие и задающие воздействия принимаются постоянными, обычно являютсяалгебраическими уравнениями, Уравнения динамики обычно дифференциальные. Они определяют поведение системы в переходном процессе при действии возмущающих сил или после прекращения их действия.

Для составления уравнений динамики АСУ разбивается на элементы (звенья), и для каждого из них составляется соответствующее уравнение на основании того физического закона, который определяет процесс, происходящий в данном звене. Совокупность уравнений динамики, составленных для всех элементов автоматической системы, определяет процесс автоматического управления.

В общем виде дифференциальное уравнение звена имеет вид:

,

(7.1)

где - входная физическая величина (параметр);

—выходная величина (параметр);

—степень дифференциального уравнения, которым описывается изменение ;

—степень дифференциального уравнения, которым описывается изменение ;

—время;

и - коэффициенты, которые могут быть зависящими отили(нелинейные системы).

Линеаризовав нелинейности и введя безразмерные координаты , уравнение (7.1) можно записать в виде

(7.2)

где и— постоянные коэффициенты;

; - безразмерные координаты .

Если уравнение (7.2) преобразовать по Лапласу при нулевых начальных условиях, то оно приобретает вид:

,

(7.3)

где

,

(7.4)

— передаточная функция звена, а и— полиномы комплексного переменного

,

Понятие передаточной функции существенно упрощает решение инженерных задач при расчетах и наладке автоматических систем управления. Так, зная передаточную функцию системы, с учетом (7.3) по обратному преобразованию Лапласа можно найти переходный процесс в системе:

(7.5)

Передаточная функция системы в свою очередь находится по передаточным функциям ее элементарных звеньев. Для этого составляют алгоритмическую структурную схему системы, в которой каждая часть (звено) осуществляет простейший алгоритм функционирования. В структурной схеме части системы принято изображать в виде прямоугольников с указанием в них передаточных функций.

В автоматических системах звенья могут соединяться в самых различных сочетаниях. Несмотря на это, систему любой сложности можно всегда рассматривать как совокупность трех видов соединений элементарных звеньев: последовательного, параллельного и встречно-параллельного. Рассмотрим, каким образом можно найти передаточную функцию этих соединений по известным передаточным функциям входящих в них звеньев.

Последовательное соединение звеньев. При последовательном соединении звеньев (рис. 7.4, а) выходная величина предыдущего звена является входной величиной последующего. Передаточная функция системы последовательно соединенных звеньев равна произведению передаточных функций отдельных звеньев:

(7.6)

Параллельное соединение звеньев. Входная величина системы, состоящей из параллельно соединенных звеньев (рис. 7.4, б), одновременно подается на входы всех звеньев, а ее выходная величина равна сумме выходных величин отдельных звеньев. Передаточная функция системы, состоящей из параллельно соединенных звеньев, равна сумме передаточных функций этих звеньев:

(7.7)

Встречно-параллельное соединение звеньев, или соединение с обратной связью. При встречно-параллельном соединении звеньев на вход соединения одновременно с входной величиной системы подается ее выходная величина, прошедшая через звено обратной связи с передаточной функцией (рис. 7.4, в). Передаточная функция соединения

(7.8)

В знаменателе знак “+” относится к отрицательной обратной связи, когда . Знак “-“ относится к положительной обратной связи, когда

В системах регулирования для обеспечения устойчивости их работы обычно применяется отрицательная обратная связь; тогда

(7.9)