§ 7. Функция двух случайных аргументов.

Если каждой паре случайных величинисоответствует одно из возможных значений случайной величи- ны, тоназывают функцией двух случайных агументови. На практике наиболее часто встре- чается задача - найти закон распределения функциипо известным распределениям слагаемых. Напри- мер, если- погрешность показаний некоторого измеритель- ного прибора (распределена, обычно, нормально) , а- погрешность округления показаний этого прибора (распределе- на равномерно), то возникает задача - найти закон распреде -ления суммы погрешностей.

1. Пусть и-дискретные случайные величины,

которые заданы своими законами распределения. Тогда воз- можные значения случайной величины - это все возможные значения сумм значенийи, а вероятности соответствующих значенийнаходятся, как произведения со- ответствующих вероятностей значенийи, входящих в

и как суммы этих произведений, в случае, если одному значению суммы отвечают различные комбинации значений и.

Пример 1. Пусть даны ряды распределения дискретных случайных величин и.

	-1	2	4
	0,2	0,5	0,3

	2	4	5
	0,1	0,4	0,5

Тогда функция принимает значения: 1, 3, 4, 6, 7, 8, 9. Вероятности этих значений находим , используя теоре -мы умножения и сложения вероятностей следующим образом:

Получаем ряд распределения случайной величины :

	1	3	4	6	7	8	9
	0,02	0,08	0,15	0,23	0,25	0,12	0,15

Сумма вероятностей, стоящих в нижней строке, равна 1, поэтому эта таблица в самом деле задаёт ряд распределения случайной величины .

7.2. Пусть теперь и-непрерывные случайные величины. Если и- независимы, то зная плотности таспределения случайных величини-, соответственно, плотность распределения случайной величины

можно найти по одной из следующих формул:

;

или

.

В частности, если принимают только положи- тельные значения на промежутке, то выполняютя сле- дующие формулы:

ПРИМЕР 2. Пусть независимые случайные величины изаданы своими плотностями распределения:

Найти закон распределения случайной величины .

Таким образом,

Легко проверить, что выполняется основное свойство плотнос -ти распределения, а именно,

§ 8. Системы случайных величин

8.1 Законы распределения системы случайных величин.

Все случайные величины, которые рассматричались до сих пор, определялись одним числом (одним аргументом) - одно -мерные случайные величины. Но, кроме них, можем рассмот- реть величины, которые зависят от двух, трёх и более аргу –ментов, так называемые, многомерные случайные величины, которые можно рассматривать как системы одномерных слу -чайных величин. Через - обозначают двумерную слу- чайную величину, а каждую из величини- называютсоставляющей (компонентой).

Двумерную случайную величину называют дискретной, если её составляющие - дискретные случайные величины.

Непрерывной называют двумерную случайную величину, сос- тавляющие которой - непрерывные случайные величины.

Законом распределения дискретной двумерной случайной величинв называют таблицу вида:

Так как события ,образуют полную группу несовместных событий, то сумма всех вероятностей, стоящих в таблице, равна единице.

Зная закон распределения двумерной случайной величины, можно найти закон распределения каждой составляющей:

(сумма вероятностей в столбце таблицы);

(сумма вероятностей в строке таблицы).

Пример 1. Дан закон распределения двумерной случайной величины:

	2	3	5
-1	0,12	0,28	0,11
1	0,21	0,14	0,14

Составить законы распределения случайных величин и.

Случайная величина имеет распределение:

	2	3	5
	0,33	0,42	0,25

Для случайной величины получаем ряд:

	-1	1
	0,51	0,49

Определение. Функцией распределения двумерной случайной величины называют функцию , которая имеет смыс как для дискретных, так и для непрерыв- ных случайных величин. Геометрически это равество можно истолковать, как вероятность того, что случайная точкапопадает в бесконечный квадрат с вершиной в точке, расположенный левее и ниже этой вершины.

ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ:

Свойство 1. .

Свойство 2. Функция распределения - неубывающая функция по обоим аргументам, т.е.

Свойство 3. Для всех ивыполняются следующие соотношения:

Свойство 4. Функции распределения составляющих можно найти из равенств:

Определение. Плотностью совместного распределения ве- роятностей двумерной непрерывной случайной величины назы- вается вторая смешанная производная от фукнкции распреде –ления, т.е.

.

Пример 2. Дана функция распределения системы случайных величин :Найти её плотность распределения.

Пусть известна плотность распределения системы случай - ных величин -. Тогда функцию распределе -ния можно найти, используя равенство:

,

Это непосредственно следует из определения плотности рас- пределения.

Вероятность попадания в областьопределя -ется равенством

СВОЙСТВА ДВУМЕРНОЙ ПЛОТНОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ.

Свойство 1. Двумерная плотность распределения всегда по- ложительна:

Свойство 2. Двойной несобственный интеграл с бесконеч - ными пределами интегрирования от плотности распределения равен единице

Если известна плотность совместного распределения веро- ятностей системы двух случайных величин, то можно найти плотности распределения каждой составляющей. но. Тогда

.

Аналогичным образом получаем

,

где

Пример 3. Пусть дана двумерная плотность распределения

Найти плотности распределения случайных величин и

при и равна нулю вне этого промежутка. Аналогично, ввиду симметрии функцииотносительнои, получаем:

2. Условные законы распределения.

Понятие, аналогичное понятию условной вероятности для случайных событий , можно ввести для характеристики зависимости между случайными величинами.

Рассмотрим отдельно случаи дискретной и непрерывной двумерной случайной величины.

а) Для дискретной двумерной сдучайной величины, заданной таблицей:

условные вероятности вычисляются по формулам:

Замечание. Суммы соответствующих условных вероятностей равны единице, т.е.

Пример 4. Пусть дискретная случайная величина задана таблицей:

	2	3	5
-1	0,12	0,28	0,11
1	0,21	0,14	0,14

Найти условный закон распределения составляющей при условии, что случайная величинаприняла значение.

Тогда

Очевидно, что сумма этих вероятностей равна единице.

б) Для Непрерывной двумерной случайной величины услов -ной плотностью распределения составляющейпри данном значенииназывают отношение

,

аналогично, условной плотностью распределения при данном значении-.

Пример 5. Пусть плотность совместного распределения не- прерывной двумерной случайной величины задана функцией:. Найти условные плотности распределения составляющих.

При вычислении использовали интеграл Пуассона

Тогда условные плотности распределения имеют вид:

2. Условное математическое ожидание.

Определение. Условным математическим ожиданием диск- ретной случайной величины при называется сумма произведений возможных значенийна их условные вероят -ности:

аналогично

Пример 6. Пусть двумерная дискретная случайная величи -на задана таблицей:

	2	3	5
-1	0,12	0,28	0,11
1	0,21	0,14	0,14

Найти условные математические ожидания: приипри

Тогда

Тогда

Для непрерывных величин:

2. Зависимые и независимые случайные величины.

Определение. Две случайные величины называются незави- симыми , если закон распределения одной из них не зависит от того, какие возможные значения приняла другая случайная величина. Из этого определения следует, что условные законы распределения независимых случайных величин равны их бе – зусловным законам распределения.

ТЕОРЕМА. Для того, чтобы случайные величины ибыли независимыми, необходимо и достаточно, чтобы выпол -нялось равенство:

Доказывать теорему не будем, но как следствие, получаем:

Следствие. Для того, чтобы случайные величины ибыли независимыми, необходимо и достаточно, чтобы плот -ность совместного распределения системыбыла рав -на произведению плотностей распределения составляющих, т.е.

2. Числовые характеристики системы двух случайных

величин. Корреляционный момент. Коэффициент

корреляции.

Определение. Корреляционным моментом системы слу- чайных величининазывают математическое ожидание произведения отклонений этих величин:

(1)

Замечание 1. Нетрудно убедиться, что корреляционный мо -мент можно записать в виде:

Замечание 2. Корреляционный момент двух независимых случайных величин равен нулю.

Это следует из условия независимости случайных величин.

Замечание 3. Для корреляционного момента случайных ве – личин ивыполняется неравенство

Определение. Коэффициентом корреляции случайных величининазывают отношение корреляционного мо -мента к произведению средних квадратических отклонений этих величин, т.е.

(2)

Если случайные величины независимы, то их корреляци- онный смомент равен нулю и, соответственно равен нулю их коэффициент корреляции.

Учитывая замечание 3, получаем основное свойство коэффициента корреляции:

(3)

Пример 7. Рассмотрим случай системы дискретных случай- ных величин, распределение которых забано таблицей:

	2	3	4	5
-1	0,12	0,14	0,11	0,07
1	0,12	0,14	0,07	0,04
2	0,05	0,07	0,04	0,03

Найти математические ожтдания и дисперсии составляющих и найти для них коэффициент корреляции .

Найдём одномерные законы распределения составляющих

и их числовые характеристики.

Для

	2	3	4	5
	0,29	0,35	0,22	0,14

Для

	-1	1	2
	0,44	0,37	0,19

Математическое ожидание произведения:

Тогда корреляционный момент равен:

И окончательно, коэффициент корреляции равен:

Это означает, что случайные величины иимеют очень слабую зависимость.

Рассмотрим аналогичную задачу для случая непрерывных случайных величин.

Пример 8. Пусть система случайных величин подчинена закону распределения с плотностью:

где область . Найти значение параметра, числовые характеристики случайных величинии их коэффициент корреляции.

Область - это треугольник:

2

0 2

Сначала найдём значение параметра , учитывая ос -новное условие плотности распределения:

В нашем случае,

Отсюда, и плотность распределения имеет вид:

Найдём числовые характеристики составляющих.

Так как функция и областьсимметричны относи -тельнои, то числовые характеричтики случайных вели -чинисовпадают, т.е.

Математическое ожидание произведения случайных величин

Корреляционный момент равен:

И окончательно,

6. Коррелированность и зависимость случайных

величин

Определение. Две случайные величины иназываюткоррелированными, если их корреляционный момент (или, что равносильно, коэффициент корреляции) отличен от нуля.

Коррелированные величины являются зависимыми. Обрат -ное предположение не всегда имеет место, т.е. зависимые случайные величины могут быть и коррелированными и не коррелированными. Если случайные величины независимые, то они обязательно некоррелированы.

Убедимся на примере, что две зависимые величины могут быть некоррелированными.

Пример. Пусть двумерная случайная величина за – дана плотностью распределения:

Доказать, что и- некоррелированные величины.

Плотности распределения составляющих, как нетрудно убе -диться внутри заданного эллипса задаются соответствующими формулами и равны нулю вне эллипса.

Так как , тои- зависимые случайные величины.

Так как функция симметрична относительно оси Оу, то, аналогично,, ввиду симметрииотносительно оси Ох (чётные функции).

так как равен нулю внутренний интеграл (интеграл от нечётной функции равен чётной функции, а пределы интегрирования симметричны). Тогда

т.е. данные зависимые случайные величины не являются кор- релированными.

Замечание 1. Для нормально распределённых составляющих двумерной случайной величины понятия некоррелированности и независимости равносильны.

Замечание 2. Если составляющие исвязаны линей- ной зависимостью, т.е., то

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика – М.: Высш. шк., 2001.

2. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике - М.: Высш. шк. , 2001

3. Гурский Е.И. Теория вероятностей с элементами математической статистики - М.: Высш. шк., 1971.

4. Изосова Л.А., Изосов А.В. Случайные величины //метод указания// - Магнитогорск, 2003.

5. Изосова Л.А., Изосов А.В. Случайные величины и законы их распределения //индивидуальные задания// - Магнито- горск, 2004.

6. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика - М.: Юнити, 2000.

7. Чистяков В.П. Курс теории вероятностей - М.: Наука, 1982.

111