- •§ 1 Предмет теории вероятностей.
- •§ 2 Пространство элементарных событий,
- •§ 3 Частота события и её свойства,
- •§ 4 Вероятность события.
- •§ 5 Аксиоматическое построение теории
- •§ 6 Теоремы сложения и умножения вероятно -
- •§ 7. Формула полной вероятности, формула
- •§ 8. Повторение испытаний. Формула бернулли.
- •§ 9. Предельные теоремы в схеме бернулли.
- •§ 1. Понятие случайной величины.
- •§ 2 Законы распределения вероятностей
- •§ 3. Числовые характеристики случайных
- •§ 4 Основные законы распределения
- •§ 5. Закон больших чисел и предельные
- •§ 6. Функция одного случайного аргумента её
- •§ 7. Функция двух случайных аргументов.
- •§ 8. Системы случайных величин
§ 3. Числовые характеристики случайных
ВЕЛИЧИН
При решении многих практических задач нет необходимости знать все вероятностные характеристики случайной величины. Иногда достаточно знать только некоторые числовые характе - ристики закона распределения.
Числовые характеристики позволяют в сжатой форме выра -зить наиболее существенные особенности того или иного рас- пределения.
О каждой случайной величине прежде всего необходимо знать её среднее значения, около которого группируются все возможные значения этой величины, а также некоторое число, характеризующее степень рассеяния этих значений относитель- но среднего.
Различают характеристики положения и характеристики рас- сеяния. Одной из самых важных характеристик положения яв- ляется математическое ожидание.
Математическое ожидание (среднее значение).
Рассмотрим сначала дискретную случайную величину, име -ющую возможные значения с вероятностями
.
Определение. Математическим ожиданием дискретной слу- чайной величины называется сумма произведений всех возможных значений этой величины на их вероятности, т.е.
. (1)
По другому, математическое ожидание обозначается
Пример. Пусть дан ряд распределения:
-
1
2
3
4
0,2
0,1
0,3
0,4
Тогда
Рассмотрим теперь непрерывную случайную величину все возможные значения которой заключены в отрезке.
Разобьём этот отрезок на частичных отрезков, длины которых обозначим:, и в каждом частичном интервале возьмём по произвольной точке, соответственно.
Так как произведение при- ближённо равно вероятности попадания случайной величины на элементарный участок, то сумма произведенийсоставленная по аналогии с опреде -лением математического ожидания дискретной случайной ве- личины, приближённо равна математическому ожиданию не -прерывной случайной величиныПусть.
Тогда
Определение. Математическим ожиданием непрерывной случайной величины называется следующий определённый интеграл:
(2)
Если непрерывная случайная величина принимает значения на всей числовой прямой, то
Пример. Пусть дана плотность распределения непрерывной случайной величины:
Тогда её математическое ожидание:
Понятие математического ожидания имеет простую меха -ническую интерпретацию. Распределение вероятностей слу -чайной величины можно интерпретироварь как распределение единичной массы по прямой. Дискретной случайной величине, принимающей значения с вероятностямисоответствует прямая, на которой массысосредоточены в точках. Непре- рывной случайной величине отвечает непрерывное распреде -ление масс на всей прямой или на конечном отрезке этой прямой. Тогда математическое ожидание - этоабсцисса цент- ра тяжести.
СВОЙСТВА МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОЖИДАНИЯ
Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной:
Постоянный множитель можно вынести за знак матема- тического ожидания:
Математическое ожидание алгебраической суммы слу –чайных величин равна алгебраической сумме их мате- матических ожиданий:
Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математи -ческих ожиданий:
Математическое ожидание отклонения случайной вели- чины от её математического ожидания равно нулю:
Мода и медиана случайной величины.
Это ещё две характеристики положения случайной вели- чины.
Определение. Модой дискретной случайной величины называется её наиболее вероятное значение. Для непрерыв –ной случайной величины мода - это точка максимума функ- ции.
Если многоугольник распределения (для дискретной случай- ной величины) или кривая распределение (для непрерывной случайной величины) имеет две или более точек максимума, то распределение называется двухмодальным или многомо -дальным, соответственно.
Если нет ни одной точки максимума, то распределение называется антимодальным.
Определение. Медианой случайной величинына – зывается такое её значение, относитеоьно которого равноверо- ятны получение большего или меньшего значения случайной величины, т.е.
Другими словами, - это абсцисса точки, в которой площадь под графиком плотности распределения (многоуголь- ником распределения) делится пополам.
Пример. Дана плотность случайной величины:
Найти медиану этой случайной величины.
Медиану найдём из условия. В нашем случае,
Из четырёх корней необходимо выбрать тот, который заключён между 0 и 2, т.е.
Замечание. Если распределение случайной величины одно- модальное и симметричное (нормальное), то все три характе -ристики положения: математическое ожидание, мода и медиа -на, совпадают.
Дисперсия и среднее квадратическое отклонение.
Значения наблюдаемых случайных величин, обычно, более или менее колеблются около некоторого среднего значения. Это явление называется рассеянием случайной величины око- ло её среднего значения. Числовые характеристики, показыва- ющие, насколько плотно сгруппированы возможные значения случайной велипины около среднего, называются характерис – тиками рассеяния. Из свойства 5 математического ожидания следует, что линейное отклонение значений случайной вели –чины от среднего значения не может служить характеристикой рассеяния, так как положительные и отрицательные отклоне –ния «гасят» друг друга. Поэтому основной характеристикой рассеяния случайной величины принято считать математичес - кое ожидание квадрата отклонения случайной величины от среднего.
Определение. Дисперсией называется математическое ожи –дание квадрата отклонения случайной величины от её матема- тического ожидания (среднего значения), т.е.
(3)
Для дискретной случайной величины:
(4) для непрерывной случайной величины:
(5)
Но, несмотря на удобства этой характеричтики рассеяния, желательно иметь характеристику рассеяния соразмерную с самой случайной величиной и её математическим ожиданием.
Поэтому вводится ещё одна характеристика рассеяния, кото -рая называется средним квадратическим отклонением и рав -на корню из дисперсии, т.е. .
Для вычисления дисперсии удобно пользоваться формулой, которую даёт следующая теорема.
ТЕОРЕМА. Дисперсия случайной величины равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной вели -чины и квадратом её математического ожиданием, т.е.
В самом деле, по определению
Так как .
СВОЙСТВА ДИСПЕРСИИ:
Дисперсия постоянной случайной величины равна нулю, т.е.
Постоянный множитель сучайной величины выносится из дисперсии с квадратом, т.е.
Дисперсия алгебраической суммы двух случайных вели- чин равна сумме их дисперсий, т.е.
Следствие из 2 и 3 свойств:
Рассмотрим примеры..
Пример 1. Дан ряд распределения дискретной случайной величины. Найти её среднее квадратическое отклонение.
-
- 1
1
3
4
5
0,2
0,05
0,2
0,3
0,25
Сначала найдём
Тогда среднее квадратическое отклонение
Пример 2. Пусть дана плотность распределения непрерыв -ной случайной величины:
Найти её дисперсию и среднее квадратическое отклонение.
Тогда
Моменты случайных величин.
Различают моменты двух видов: начальные и центральные.
Определение. Начальным моментом порядка случайной
величины называют математическое ожидание величины, т.е..
Для дискретной случайной величины:
Для непрерывной случайной величины:
В частности, математическое ожидание - это началь- ный момент 1 – го порядка.
Определение. Центральным моментом полрядка слу -чайной величиныназывается математическое ожидание ве- личины, т.е.
Для дискретной случайной величины:
Для непрерывной -
Центральный момент 1 – го порядка равен нулю (свойство 5 математического ожидания); ;характеризует асимметрию (скощенность) графика плотности распределения.называетсякоэффициентом асимметрии.
служит для характеристики островерхости распределения.
Определение. Эксцессом случайной величины называет- ся число
Для номально распределённой случайной величины отноше- ние . Поэтому кривые распределения, более островер- хие, чем нормальная, имеют положительный эксцесс (), а более плосковерхие имеют отрицательный эксцесс ().
Пример. Пусть дана плотность распределения случайной величины :
Найти коэффициент асимметрии и эксцесс этой случайной величины.
Найдём необходимые для этого моменты:
Тогда коэффициент асимметрии: (отрицательная асимметрия).
Эксцесс равен
Кроме рассмотренных выше начальных и центральных мо –ментов на практике иногда применяются так называемые абсо- лютные моменты.
Абсолютный начальный момент определяется формулой:
Абсолютный центральный момент задаётся формулой:
В частности, называетсясредним ариф- метическим отклонением и иногда используется для харак -теристики рассеяния случайной величины.
Наряду с отмеченными выше числовыми характеристиками, для описания случайных величин используются понятия квантилей.
Определение. Квантилем уровня (или- квантилем) называется такое значениеслучайной величины, при кото- ром функция её распределения принимает значение, равное, т.е.
В обозначениях этого определения, медиана случайной ве- личины