- •Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
- •Введение
- •I. Функция. Свойства функции
- •1.1. Понятие числовой функции
- •1.3. Периодичность
- •1.4. Нули функции
- •1.5. Монотонность функции.
- •1.6. Экстремумы функции
- •1.7. Выпуклость функции
- •1. 8. Отыскание интервалов выпуклости и точек перегиба
- •II. Предел функции. Непрерывность функции
- •2.5. Непрерывность функции
- •III. Методы раскрытия неопределенностей
- •3.1. Неопределенность вида
- •3.2. Неопределенность вида
- •3.3. Неопределенность вида
- •3.4. Неопределенность вида
- •3.5. Неопределенность вида
- •IV. Асимптоты кривой
- •V. Примеры исследования функций
- •VI. Вопросы и задачи для самопроверки
- •VII. Задания для домашней расчетно-графической работы по теме: «исследование функции и построение ее графика»
- •VIII. Примерные варианты тестов
- •Литература
- •Содержание
III. Методы раскрытия неопределенностей
При решении заданий на вычисление предела функции одной переменной встречаются различные виды неопределенностей. А именно: неопределенность вида ,,,,.
Различные виды неопределенностей имеют свои методы раскрытия.
3.1. Неопределенность вида
Разложение числителя и знаменателя на множители с последующим сокращением
Примеры:
1. Найти
Решение:
При непосредственной подстановке предельного значения x=1 числитель и знаменатель обращаются в нуль.
Имеем неопределённость вида . Для раскрытия неопределённости разложим числитель и знаменатель на множители, и сократим дробь на общий множитель.
Для квадратного трёхчлена
Где
Для 3x2+x-4 получим:
Для получим:
Тогда
Ответ: -7
2. Найти
Решение:
При непосредственной подстановке предельного значения x=1 числитель и знаменатель обращаются в нуль.
Имеем неопределённость вида . Для раскрытия неопределённости разложим числитель и знаменатель на множители, и сократим дробь на общий множитель.
Для квадратного трёхчлена:
где
Для получим:
Числитель разложим на множители следующим образом:
Тогда
Ответ:
3. Найти
Решение:
При непосредственной подстановке предельного значения x=3 числитель и знаменатель обращаются в нуль
Имеем неопределённость вида . Для раскрытия неопределённости разложим числитель и знаменатель на множители, и сократим дробь на общий множитель.
Для квадратного трёхчлена
где
Для получим:
Знаменатель разложим по формуле
Для получим:
Тогда
Ответ:
Деление многочлена на многочлен
1. Найти
Решение:
= =-неопределенность, для раскрытия требуется дробь сократить.
Так какx=1 – корень многочленов, то многочлены кратны одночлену (x – 1):
x³+x²-2xx-1 3x³-3x-1
-(x³-x²)x²+2x-(3x³-3x²) 3x²+3x+3
2x²-2x3x²-3
-(2x²-2x) -(3x²-3x)
0 3x-3
-(3x-3)
0
Разложим числитель и знаменатель на множители и сократим дробь:
Вычислим предел:
.
Ответ:
Устранение иррациональных разностей домножением на сопряженное выражение
Примеры:
1. Найти
Решение:
При непосредственной подстановке предельного значения x=0 числитель и знаменатель обращаются в нуль.
Имеем неопределённость вида . Используя формулудля раскрытия неопределённости домножим числитель и знаменатель на сопряжённый двучлен,
А затем при наличии общего множителя сократим на него дробь.
Ответ:
2. Найти
Решение:
При непосредственной подстановке предельного значения x=1 числитель и знаменатель обращаются в нуль.
Имеем неопределённость вида . Используя формулудля раскрытия неопределённости домножим числитель и знаменатель на сопряжённый двучлени, а затем при наличии общего множителя сократим на него дробь
Ответ:
3. Найти
Решение:
При непосредственной подстановке предельного значения x=0 числитель и знаменатель обращаются в нуль.
Имеем неопределённость вида . Для раскрытия неопределённости домножим числитель и знаменатель соответственно на сопряжённые двучленыи, а затем при наличии общего множителя сократим на него дробь.
Ответ:
Замена переменной
Пример:
Найти
Решение:
При непосредственной подстановке предельного значения x=1 числитель и знаменатель обращаются в нуль.
Имеем неопределённость вида . Для раскрытия неопределённости избавимся от иррациональности сделав замену(x=t3). Тогда при .
Затем после преобразований сократим дробь на общий множитель.
Ответ: 4
Первый замечательный предел
Примеры:
1. Найти
Решение:
При числитель и знаменатель обращаются в нуль.
Имеем неопределённость вида . Раскроем неопределённость с помощью 1-го замечательного предела после следующих преобразований:
Ответ:
2. Найти
Решение:
При числитель и знаменатель обращаются в нуль.
Имеем неопределённость вида . Раскроем неопределённость с помощью 1-го замечательного предела после следующих преобразований:
Ответ:
3. Найти
Решение:
При числитель и знаменатель обращаются в нуль.
Имеем неопределённость вида . Раскроем неопределённость с помощью 1-го замечательного предела после следующих преобразований:
Ответ:
Правило Лопиталя
Найти
Решение:
Ответ: 1