1.6. Экстремумы функции

Пусть функция у = f(х) определена на отрезке [а;b]. Говорят, что функция у = f(х) имеет локальный максимум в точке х₀ є [а;b], если существует окрестность точки х₀, целиком содержащаяся в [а;b ] и такая, что для любого х, при­надлежащего этой окрестности, выполняется неравенство f(х) < f(х₀).

Под окрестностью точки х₀ понимают интервал длины 2 с центром в точке х₀, т.е. (х₀-, х₀+), где  - произвольное по­ложительное число

Говорят, что функция у = f(х) имеет локальный минимум в точке х₀ є[а;b], если существует окрестность точки х₀, целиком содержащаяся в [а;b] и такая, что для любого х, принадлежаще­го этой окрестности, выполняется неравенство f(х) > f(х₀).

Достаточный признак экстремума функции.

Критическая точка (внутренняя точка области определения функции, в которой производная этой функции равна нулю или не существует) является точкой экстремума функции, если в окрестности этой точки производная меняет знак, причем точкой максимума, если производная меняет знак с «+» на «-», и точкой минимума, если производная меняет знак с «-» на «+».

Наибольшее (наименьшее) значение непрерывной функции у = f(х) на отрезке [а;b]достигается либо в одной из критических точек, либо в одной из граничных точек данного отрезка.

1.7. Выпуклость функции

Говорят, что функция у = f(х) выпукла вверх в точке х₀, если существует окрестность точки х₀ такая, что для всех ее точек х касательная к графику функции в точке М₀(х₀, у₀) лежит выше графика (рис. 4а). Говорят, что функция у = f(х) выпукла вниз в точке х₀, если существует окрестность точки х₀ такая, что для всех ее точек х касательная к графику функции а точке М₀(х₀; у₀) лежит ниже графика (рис. 4б).

Если на некотором промежутке (а;b) все касательные к гра­фику функции у = f(х) лежат выше (соответственно ниже) самого графика, то на данном промежутке функция выпукла вверх (со­ответственно выпукла вниз).

Рис. 4. Графики выпуклой функции

1. 8. Отыскание интервалов выпуклости и точек перегиба

Достаточное условие выпуклости функции на интервале.

Если вторая производная f"(х) существует на интервале (а, b) и не меняет знак на этом интервале, то:

1) при f"(х) > 0 (знак + ) функция f(х) выпукла вниз на интервале (а;b);

2) при f"(х) < 0 (знак - ) функция f(х) выпукла вверх на интервале (а;b).

Таким образом, для нахождения интервалов выпуклости вверх и выпуклости вниз функции нужно найти вторую произ­водную и решить неравенства f"(х) < 0 и f"(х) > 0.

Точка М₀(х₀; f(х₀)) графика функции у = f(х) называется точкой перегиба этого графика, если существует такая окрестность точки х₀, в пределах которой график функции у = f(х) слева и справа от т. М₀ имеет разные направления вы­пуклости.

На рис. 5 изображен график функции, имеющей перегиб в точке М₀(х₀; f(х₀)).

Рис. 5. График функции, имеющей перегиб

Необходимый признак существования точки перегиба.

Если функция в точке х₀ имеет перегиб, то вторая производная в этой точке либо не существует, либо равна нулю.

Точки, в которых вторая производная обращается в нуль или не существует, называют критическими точками II-го рода. В этих точках перегиб может быть, а может и не быть. Этот вопрос ре­шается с помощью следующего признака.

Достаточный признак существования точки перегиба.

Пусть функция определена и непрерывна в некоторой окрестности точки х₀, включая саму точку. Пусть, далее, вторая производ­ная в этой точке равна нулю или не существует. Тогда, если f"(х) < 0 при х <х₀ и f"(х) > 0 при х > х₀ или f"(х) > 0 при х < х₀ и f"(х) < 0 при х > х₀, то М₀(х₀, (f(х₀)) является точкой перегиба кривой у = f(х).