8) Десятичный состав числа

а) состав однозначного числа, двузначного и любого другого:

5 10 12 3 136

/ \ / \ / \ / | \ / \

3 2 7 3 5 7 1 1 1 72 64

б) представление заданного числа в виде суммы разрядных слагаемых связано с выделением его десятичного состава:

12 106 136

/ \ / \ / | \

10 2 100 6 100 30 6

Моделируется с помощью карточек вида: [100], [30], [6].

9) Принцип поместного значения цифр - один и тот же знак (цифра) обозначает одно и то же количество единиц различных разрядов в зависимости от того, на каком месте (позиции) в записи числа стоит этот знак (цифра).

10) Класс - объединение трёх последовательных разрядов, начиная с разряда единиц.

11) Принцип ПОР - принцип поклассового объединения разрядов.

Подпишите каждый из обозначенных на рисунке классов.

12) Сравнение чисел - установление отношений "равно",

"больше", "меньше".

Способы сравнения чисел:

- на основе сравнения множеств;

- по месту в N : 3<4, a 4>3, потому что…

- по составу числа: 4>3, т.к. 4=3+1;

- по десятичному составу числа

37>32, 37>23, потому что…

- по количеству цифр

**<***, 7**<8**, потому что…

13) Свойства N - бесконечность, дискретность, упорядоченность.

Числовой луч, лента чисел, масштабная линейка - это модели множества целых неотрицательных чисел.

Число 10 в сотой степени - гугол (американский математик и педагог Кастнер) - граница исчисляемого мира, т.к. во всей Вселенной нет ничего больше, чем гугол.

Например, объём земного шара не превышает 10 в тридцатой степени миллиметров кубических.

Отношение размеров Вселенной и атомного ядра всего лишь примерно 10 в сороковой степени.

2. Цель и задачи изучения чисел

Цель - усвоение нумерационных понятий, способов чтения и записи чисел, т.е. овладевание языком математики.

Задачи: 1-13, а также:

- знакомство с источниками получения натуральных чисел, а значит с различными функциями натурального числа;

- формирование навыка счета по одному и разрядными единицами.

3. Особенности традиционной системы изучения чисел

1. Понятие числа формируется на теоретико-множественной основе (Неявно: понятия "множество", "взаимно-однозначное отображение", "эквивалентность", "равномощность". Используются только на практическом уровне.)

2. Изучение чисел строится по принципу концентричности.

Какие концентры? Возможны ли другие? Почему концентры связаны именно с числом 10?

Это означает:

- перенос уже имеющихся знаний в новую, более широкую область чисел, а значит углубление и обобщение знаний;

- расширение имеющихся знаний (введение принципиально новых знаний).

Как это отражено в ОС №12 "Изучение нумерации"?

Почему одни лучи пронизывают все концентры, а другие нет?

- систематизация знаний.

Что концентризм даёт?

- доступность;

- возрастающую самостоятельность учащихся в переносе знаний, в "открытиях нового";

- развитие интуиции и мышления (побуждаются к сравнениям, проведению аналогий, к высказыванию догадок, к обобщениям).

3. Устная нумерация в каждом концентре опережает письменную, т.е. сначала учим называть числа, а потом писать их.

Что это даёт?

- опережение готовит к усвоению устной нумерации в новом концентре;

- анализ освоенных имён-числительных помогает раскрыть принцип образования новых чисел, их десятичный состав (Например, 11, 12; 21, 22; 101, 121 и т.д.) - забегание вперёд создаёт условия для формирования представления о бесконечности N.

4. Изучение нумерации связывается с изучением некоторых величин и их измерением, с установлением соотношений между различными единицами их измерения.

Например, таблица мер длины и массы.

1см, 1дм, 1м, 1км - модели разрядных единиц.

Преобразование значений величины и их сравнение расширяет представление о функциях числа.

5. В каждом концентре над новыми числами сначала выполняют арифметические действия, основанные на знании нумерации:

а) принципа образования натурального ряда чисел;

б) десятичного состава чисел.

Например: 5+1; 99+1; 100-1, 238+1 и т.д.

10+6, 16-10, 16-6;

100+20+6, 126-100, 126-20, 126-6, 126+1

120:10 и т.д.

Сколько дней продолжается жизнь человека?

365·100=36500(дн.) Менее!

А сколько это часов?

24·36500=876000(часов)

Чем отличаются друг от друга эти вычисления?

6. Закрепление и совершенствование знаний по нумерации происходит в ходе изучения арифметических действий.

Например, _1009

875