
- •Глава 11. Классический метод расчета переходных процессов
- •11.1. Общие сведения
- •11.2. Принужденные и свободные составляющие токов и напряжений переходного процесса
- •11.3. Обоснование невозможности скачка тока в индуктивности и скачка напряжения на емкости
- •11.4. Общая характеристика классического метода расчета переходных процессов
- •11.5. Переходные процессы в цепи с последовательным соединением сопротивления и индуктивности
- •11.5.1. Свободный ток цепи
- •11.5.2. Короткое замыкание цепи r, l
- •11.5.3. Включение цепи r, l на постоянное напряжение
- •11.5.4. Включение цепи r, l на синусоидальное напряжение
- •11.6. Переходные процессы в цепи с последовательным соединением сопротивления и емкости
- •11.6.1. Свободное напряжение на емкости
- •11.6.2. Короткое замыкание цепи r, c
- •11.6.3. Включение цепи r, c на постоянное напряжение
- •11.6.4. Включение цепи r, c на синусоидальное напряжение
- •11.7. Переходные процессы в цепи с последовательным соединением r, l, c
- •11.7.1. Короткое замыкание цепи r, l, c (разряд конденсатора на r, l)
- •11.7.2. Включение цепи r, l, c на постоянное напряжение
- •11.8. Переходные процессы в разветвленных цепях
11.6.4. Включение цепи r, c на синусоидальное напряжение
Цепь R, C (рис.11.17) включается на синусоидальное напряжение
.
Начальные условия те же, что и для цепи (рис.11.15):
при
,
.
Дифференциальное уравнение для цепи (рис.11.17):
.
(11.43)
Решение уравнения (11.43) классическим методом:
Рис. 11.17 .
Принужденную составляющую напря-
жения на емкости
определим в результате расчета цепи
(рис.11.17) в установившемся режиме.
Принужденный ток цепи
, (11.44)
где
;
;
0;
.
Тогда принужденная
составляющая напряжения на емкости
будет также синусоидальна и будет
отставать от тока
на угол
:
,
(11.45)
где
.
Свободная составляющая для цепи (рис.11.17) известна из (11.34):
.
Определим напряжение переходного процесса на емкости:
.
(11.46)
Постоянную интегрирования A определим из начальных условий, подставив их в уравнение (11.46):
,
откуда
.
Подставив A в уравнение (11.46), получим:
.
(11.47)
Определим ток переходного процесса, взяв производную по времени от выражения (11.47) и умножив ее на емкость:
,(11.48)
где
;
.
П
о
выражениям (11.47) и (11.48) на рис.11.18 построены
кривые напряжения на емкости и тока
переходного процесса для цепи (рис.11.17)
при
.
Из графика (рис.11.18) видно, что на
с
инусоидальные
и
налагаются свободные состав-ляющие
и
,
абсолютная величина которых уменьшается
по показательному закону (экспоненте).
В результате
и
в некоторые моменты времени превосходят
и
.
Быстрота устано-вления режима определяется
величиной постоянной времени
.
Начальные значения
,
зависят от фазы включения
,
причем
.
Если включение
Рис. 11.18 происходит в момент, когда
должен иметь наибольшее по
абсолютной величине
значение (
),
т.е. когда
,
то
и
,
и режим в цепи устанавливается сразу
после включения.
Если в момент
включения
(
),
что будет при
(рис.11.18.) и при
,
то начальные значения
и
получают по абсолютной величине
наибольшие возможные значения, а именно:
и
.
В последнем случае
может превысить амплитуду тока
в
раз. Напряжение на конденсаторе в
переходном режиме
не может превзойти
,
так как наибольшее значение
не
может превзойти
.
В качестве примера неблагоприятного переходного процесса при включении цепи R, C на синусоидальное напряжение можно привести включение ненагруженной кабельной линии под напряжение. При этом возникают большие толчки тока, для уменьшения которых включают последовательно с линией пусковые сопротивления.
11.7. Переходные процессы в цепи с последовательным соединением r, l, c
11.7.1. Короткое замыкание цепи r, l, c (разряд конденсатора на r, l)
П
усть
конденсатор С
заряженный до напряжения
замыкается на цепь с последовательным
соединением R,
L
(рис.11.19). Запишем дифференциальное
уравнение для цепи после коммутации:
Рис. 11.19
.
(11.49)
В уравнении (11.49) два неизвестных – ток и напряжение переходного процесса. Что бы избавиться от одного из неизвестных, продифференцируем уравнение (11.49) по времени:
.
(11.50)
Третье слагаемое
в уравнении (11.50) умножим и разделим на
емкость С
и учтем, что
,
тогда уравнение (11.50) запишется в следующем
виде:
.
(11.51)
Уравнение (11.51) представляет собой однородное дифференциальное уравнение второго порядка с одним неизвестным i.
Решаем это уравнение
классическим методом:
;
принужденная составляющая тока
,
так как правая часть уравнения (11.51)
равна нулю. Следовательно,
.
Запишем характеристическое уравнение для дифференциального уравнения (11.51):
,
или
.
(11.52)
Уравнение (11.52) является алгебраическим уравнением второго порядка, аналогичное уравнению из курса математики:
,
корни которого
.
(11.53)
В соответствии с (11.53), корнями уравнения (11.52) будут:
.
(11.54)
Обозначим в уравнении (11.54):
и
,
(11.55)
тогда корни характеристического уравнения (11.52) примут вид:
(11.56)
Решение дифференциального уравнения второго порядка (11.51) должно содержать две постоянных интегрирования, для нахождения которых необходимы два начальных условия:
первое начальное условие:
, ;
второе начальное условие:
определим значение
производной от тока
при
из уравнения (11.49):
;
подставим в это уравнение , , :
,
откуда
второе начальное
условие.
Характер разряда
конденсатора зависит от соотношения
между R,
L,
C
и, в конечном счете, определяется тем,
будут ли корни характеристического
уравнения
и
вещественными или комплексными.
В таблице 11.1 приведены сведения о характере разряда конденсатора на R, L в зависимости от вида корней и и общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка.
Таблица 11.2
Корни и |
Общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка (11.51) |
Характер разряда конденсатора на R, L |
Вещественные неравные
|
|
Апериодический |
Вещественные равные
|
|
Предельный апериодический |
Комплексные:
|
|
Колебательный |
Рассмотрим три вида разряда конденсатора на R, L.
В а р и а н т 1. Апериодический разряд конденсатора.
Предположим, что
(11.55), т.е.
или
,
(11.60)
тогда характеристическое уравнение (11.52) имеет вещественные и неравные корни . В этом случае общим решением однородного дифференциального уравнения второго порядка (11.51) будет сумма двух экспоненциальных функций (11.57). Постоянные интегрирования A1 и A2 находим из начальных условий. Подставляя первое начальное условие: , в уравнение (11.57), получаем: 0 = A1 + A2, откуда A2 = A1;
.
(11.61)
Возьмем производную по времени от уравнения (11.61):
.
(11.62)
Подставляя в
уравнение (11.62) второе начальное условие:
,
,
получаем:
,
откуда, с учетом (11.56):
.
(11.63)
Значение A1 подставляем в уравнение (11.61), получаем выражение тока переходного процесса:
.
(11.64)
Определим напряжения переходного процесса:
на активном сопротивлении:
;
на индуктивности:
;
(11.65)
на емкости (из уравнения (11.49)):
.
(11.66)
Таким образом, ток (11.64) и напряжения (11.65), (11.66) переходного процесса состоят из алгебраической суммы двух экспонент, имеющих разные знаки. Так как корни и
о
трицательны
и
,
то первая экспонента затухает медленнее,
чем вторая. В резу-льтате,
,
начиная с
,
непрерывно убывает, оставаясь всегда
положительным, так как его первая
экспонента положи-тельна и больше второй
отрицательной (рис.11.20). Ток
,
начиная с нуля, всегда отри-
Рис. 11.20 цательный, что соответствует
току разряда конденсатора.
Рассмотренный вид разряда конденсатора на R, L называется апериодическим.
Энергетическая
сторона апериодического процесса
заключается в следующем. Так как
напряжение на конденсаторе непрерывно
уменьшается, то конденсатор отдает
энергию R
и
L.
Индуктивность с увеличением тока
накапливает энергию в магнитном поле,
но, начиная с момента времени
(рис.11.20), ток уменьшается, и индуктивность
постепенно отдает энергию сопротивлению
R.
В течение всего процесса сопротивление
R
потребляет энергию, превращая ее в
тепло.
В а р и а н т 2. Предельный апериодический разряд конденсатора.
В этом случае
,
т.к.
=
,
тогда характеристическое уравнение
(11.52) имеет вещественные и равные корни
.
При этом решение дифференциального
уравнения (11.51) находится в виде (11.58).
Постоянные интегрирования A3
и A4
находим из начальных условий. Подставляя
первое начальное условие:
,
в уравнение (11.58), получаем: A3
= 0, тогда
.
(11.67)
Возьмем производную по времени от уравнения (11.67):
.
(11.68)
Подставляя в
уравнение (11.68) второе начальное условие:
,
,
получаем:
.
Из уравнения (11.67) имеем:
.
(11.69)
Напряжения переходного процесса на индуктивности и на емкости:
;
(11.70)
.
(11.71)
Рассматривая
выражения (11.69) - (11.71) для тока и напряжений
переходного процесса, мы придем к таким
же заключениям, что и при
.
Таким образом, при
мы имеем предельный
случай апериодического разряда
конденсатора.
При дальнейшем уменьшении R,
разряд из апериодического переходит в
колебательный.
В а р и а н т 3. Колебательный разряд конденсатора.
В этом случае
т.к.
,
характеристическое уравнение (11.52) в
этом случае имеет комплексные корни.
Обозначим
,
тогда:
(11.72)
Общее решение однородного дифференциального уравнения (11.51) в этом случае имеет вид (11.59). Постоянные интегрирования A5 и A6 находим из начальных условий. Подставляя первое начальное условие: , в уравнение (11.59), получаем: A6 = 0, тогда
.
(11.73)
Определим производную по времени от уравнения (11.73):
.
(11.74)
Подставляя в
уравнение (11.74) второе начальное условие:
,
,
получаем:
,
.
Подставляя значение A5 в уравнение (11.73), имеем:
.
(11.75)
Обозначив
,
получим
.
(11.76)
Напряжения переходного процесса:
;
(11.77)
.
(11.78)
Построим по выражению (11.76) кривую тока переходного процесса (рис.11.21).
К
ак
видно из выражений (11.76)-(11.78) для тока и
напряжений переходного процесса и
графика (рис.11.21), разряд конден-сатора
на R,
L
носит колеба-тельный характер, причем
амплитуды тока и напря-жений постепенно
уменьша-ются, так как множитель
Рис.11.21
с ростом времени t
стремиться к нулю. Угловая
частота этих собственных затухающих колебаний
меньше угловой
частоты собственных
незатухающих колебаний
,
а период затухающих колебаний больше
периода незатухающих колебаний:
.
Для предельного
случая сверхпроводящей цепи, когда
,
имеем:
,
;
(11.79)
Следовательно, если бы в цепи не происходило рассеяние энергии, ток и напряжения были бы синусоидальными функциями времени, т.е. имели бы место так называемые собственные незатухающие колебания, угловая частота которых равна резонансной частоте этой цепи .