- •Глава 11. Классический метод расчета переходных процессов
- •11.1. Общие сведения
- •11.2. Принужденные и свободные составляющие токов и напряжений переходного процесса
- •11.3. Обоснование невозможности скачка тока в индуктивности и скачка напряжения на емкости
- •11.4. Общая характеристика классического метода расчета переходных процессов
- •11.5. Переходные процессы в цепи с последовательным соединением сопротивления и индуктивности
- •11.5.1. Свободный ток цепи
- •11.5.2. Короткое замыкание цепи r, l
- •11.5.3. Включение цепи r, l на постоянное напряжение
- •11.5.4. Включение цепи r, l на синусоидальное напряжение
- •11.6. Переходные процессы в цепи с последовательным соединением сопротивления и емкости
- •11.6.1. Свободное напряжение на емкости
- •11.6.2. Короткое замыкание цепи r, c
- •11.6.3. Включение цепи r, c на постоянное напряжение
- •11.6.4. Включение цепи r, c на синусоидальное напряжение
- •11.7. Переходные процессы в цепи с последовательным соединением r, l, c
- •11.7.1. Короткое замыкание цепи r, l, c (разряд конденсатора на r, l)
- •11.7.2. Включение цепи r, l, c на постоянное напряжение
- •11.8. Переходные процессы в разветвленных цепях
11.5.2. Короткое замыкание цепи r, l
О пределим начальные условия для схемы рис.11.5. До коммутации по катушке протекал постоянный ток . Непосредственно после коммутации в соот-
ветствии с первым законом коммутации
Рис. 11.5 , т. е. начальное значе-
ние тока в индуктивности .
Составляем дифференциальное уравнение для схемы рис. 11.5 после коммутации:
,
т.е. переходный процесс при коротком замыкании цепи R, L описывается однородным уравнением, следовательно принужденный ток (или ток установившегося режима) равен нулю ( = 0). Тогда ток переходного процесса равен свободному току
,
который определен в п.11.5.1,
.
Постоянную интегрирования А найдем из начальных условий, подставив в выражение тока переходного процесса t = 0, :
.
Окончательно получаем:
, (11.14)
где постоянная времени, .
Определим напряжения переходного процесса на R и L:
. (11.15)
. (11.16)
Таким образом, при t = 0 , а при t = 0+ , т.е. напряжение на индуктивности изменяется в момент комму-тации скачком (рис.11.6), а ток i
изменяется плавно от I0 до нуля.
О пределим энергию, расходу-емую на нагрев сопротивления R
катушки за время переходного
Рис. 11.6 процесса от 0 до :
.
Таким образом, эта энергия равна запасенной энергии в магнитном поле катушки до короткого замыкания цепи.
Переходный процесс будет протекать аналогично и в случае к.з. цепи R, L переменного тока, но тогда начальное значение тока I0 будет равно мгновенному значению тока цепи в момент короткого замыкания.
11.5.3. Включение цепи r, l на постоянное напряжение
Н ачальные условия для цепи рис.11.7: до коммутации цепь была отключена от источника питания, поэтому ток . По первому закону коммутации . Следовательно, нача-
Рис. 11.7 льное значение тока в цепи .
Дифференциальное уравнение для тока
переходного процесса после коммутации:
. (11.17)
Его решение находим в виде суммы принужденного и свободного токов:
.
В установившемся режиме при постоянном на входе напряжении , тогда из уравнения (11.17) имеем:
, откуда .
Для определения свободного тока запишем однородное дифференциальное уравнение, приравняв правую часть уравнения (11.17) к нулю:
.
Для этого уравнения свободный ток определен в п. 11.5.1 (11.13):
.
Определим ток переходного процесса:
. (11.18)
В этом уравнении не известна постоянная интегрирования А, которую найдем из начального условия, подставив в уравнение (11.18) , :
, откуда .
Подставив в уравнение (11.18) значение А, получим окончательное выражение для тока переходного процесса цепи (рис.11.7):
. (11.19)
Из выражения (11.19) и графика (рис.11.8) видно, что ток переходного процесса постоянно нарастает по экспоненте до своего установившегося значения I0 и тем медленней, чем больше постоянная времени .
Определим напряжения переходного процесса:
Рис. 11.8 ; (11.20)
. (11.21)
Из выражений (11.20), (11.21) и графика (рис.11.8) видно, что в первый момент после коммутации напряжение цепи целиком сосредотачивается на индуктивности и затем с увеличением t постепенно переходит на сопротивление R.