- •Глава 11. Классический метод расчета переходных процессов
- •11.1. Общие сведения
- •11.2. Принужденные и свободные составляющие токов и напряжений переходного процесса
- •11.3. Обоснование невозможности скачка тока в индуктивности и скачка напряжения на емкости
- •11.4. Общая характеристика классического метода расчета переходных процессов
- •11.5. Переходные процессы в цепи с последовательным соединением сопротивления и индуктивности
- •11.5.1. Свободный ток цепи
- •11.5.2. Короткое замыкание цепи r, l
- •11.5.3. Включение цепи r, l на постоянное напряжение
- •11.5.4. Включение цепи r, l на синусоидальное напряжение
- •11.6. Переходные процессы в цепи с последовательным соединением сопротивления и емкости
- •11.6.1. Свободное напряжение на емкости
- •11.6.2. Короткое замыкание цепи r, c
- •11.6.3. Включение цепи r, c на постоянное напряжение
- •11.6.4. Включение цепи r, c на синусоидальное напряжение
- •11.7. Переходные процессы в цепи с последовательным соединением r, l, c
- •11.7.1. Короткое замыкание цепи r, l, c (разряд конденсатора на r, l)
- •11.7.2. Включение цепи r, l, c на постоянное напряжение
- •11.8. Переходные процессы в разветвленных цепях
11.5.4. Включение цепи r, l на синусоидальное напряжение
К цепи (рис.11.9) приложено синусоидальное напряжение , тогда значение напряжения в момент включения (t = 0) определяется величиной начальной фазы , которая в этом случае называется также фазой включения.
Начальные условия для схемы (рис.11.9): при t = 0 .
Составляем дифференциальное урав-нение после коммутации для тока переходного процесса:
Рис. 11.9 , (11.22)
решение которого находим в виде суммы и :
.
Свободный ток был определен ранее (11.13):
.
Принужденную составляющую найдем в результате расчета цепи (рис.11.9) в установившемся режиме:
,
где ; .
Ток переходного процесса:
. (11.23)
Постоянную интегрирования А найдем из уравнения (11.23), подставив в него начальные условия:
, откуда .
Подставив значение А в уравнение (11.23), получим:
. (11.24)
Напряжение переходного процесса на сопротивлении , т.е. уравнение (11.24) надо умножить на R:
. (11.25)
Напряжение переходного процесса на индуктивности:
. (11.26)
П остроим кривую тока переходного процесса по выражению (11.24) приняв значение начальной фазы напряжения (рис.11.10).
Рис. 11.10
Из выражения (11.24) и графика (рис.11.10) для тока i видно, что во время переходного процесса на синусоидальный принужденный ток iпр налагается свободный ток , затухающий по экспоненте. В результате этого наложения i в некоторые моменты превосходит амплитуду установившегося тока , т.е. в цепи может возникнуть большой ток, называемый сверхтоком. Быстрота наступления установившегося режима зависит от постоянной времени цепи .
Величина начального значения свободного тока зависит от начальной фазы напряжения и равна по величине и обратна по знаку значению принужденного тока в момент включения. Если включение происходит в момент, когда должен быть равен нулю, т.е. или , то и режим тока в цепи устанавливается сразу (переходного процесса нет). Если в момент включения должен проходить через свое наибольшее по абсолютной величине значение, что имеет место при , то начальное значение получает наибольшее возможное абсолютное значение, равное . Наиболее неблагоприятный случай, когда включение происходит при переходе через и когда, кроме того, велика по сравнению с периодом .
Ток переходного процесса достигает своего наибольшего значения в конце первого полупериода, но он не может более чем в 2 раза превысить .
11.6. Переходные процессы в цепи с последовательным соединением сопротивления и емкости
11.6.1. Свободное напряжение на емкости
П редположим, что схема цепи с последовательным соединением R и С после коммутации имеет вид (рис.11.11), для которой справедливо уравнение:
. (11.27)
Рис. 11.11 В уравнении (11.27) два независимых i и .
Выразим ток конденсатора i через
напряжение на конденсаторе . Ток в конденсаторе представляет собой изменение заряда во времени, т.е.
. (11.28)
Подставим выражение (11.28) в уравнение (11.27):
. (11.29)
Уравнение (11.29) представляет собой дифференциальное уравнение первого порядка, характеризующее переходный процесс в цепи (рис.11.11).
Для определения свободного напряжения на емкости запишем однородное дифференциальное уравнение, приравняв правую часть уравнения (11.29) к нулю:
. (11.30)
Решением этого уравнения является показательная функция
. (11.31)
Запишем для однородного дифференциального уравнения (11.30) характеристическое уравнение:
, (11.32)
откуда корень характеристического уравнения
. (11.33)
Подставим (11.33) в выражение (11.31):
. (11.34)
Зависимость от t (11.34) также является экспонентой с начальным значением А, коэффициентом затухания и постоянной времени
Рис. 11.12 (рис.11.12).