Свойства операций над множествами

Свойства операций объединения, пересечения и дополнения иногда называют законами алгебры множеств. Перечислим основные свойства операций над множествами. Пусть задано универсальное множество U. Тогда ( A, B, C) A, B, C  U выполняются следующие свойства:

1. идемпотентность:A  A = A, A  A = A;

2. коммутативность: A  B = B  A, A  B = B  A;

3. ассоциативность: A  (B  C) = (A  B)  C,

A  (B  C) = (A  B)  C;

4. дистрибутивность:

A  (B  C) = (A  B)  (A  C) (дистрибутивность  относительно ),

A  (B  C) = (A  B)  (A  C) (дистрибутивность  относительно );

5. свойства нуля: A   = A, A   = ;

6. свойства единицы: A  U = U, A  U = A;

7. поглощение: (A  B)  A = A, (A  B)  A = A;

8. инволютивность (свойство двойного дополнения):  = A;

9. законы де Моргана⁴: , ;

10. закон включения: А  B    ;

11. свойства дополнения: А   = U, А   = ;

12. выражение для разности: А \ В = А  .

Другие соотношения между множествами могут быть выведены на основе вышеприведенных свойств по правилам алгебры логики.

Справедливость каждого из этих свойств можно доказать, используя утверждение 1.1 и замечание 1.3. В качестве примера приведем доказательство дистрибутивности объединения относительно пересечения: A  (B  C) = (A  B)  (A  C).

Пусть X = A  (B  C), Y = (A  B)  (A  C). Надо доказать, что множества X и Y равны, то есть X  Y и Y  X. Множество X  Y, если каждый элемент множества X принадлежит множеству Y. Пусть x  X  (x  A) или (x  B  C) тогда

• если x  A, то x  A  B и x  A  C, следовательно, x  Y;

• если x  B  C, то x  B и x  C  x  A  B и x  A  C, следовательно x  Y.

Из произвольности элемента x следует, что X  Y.

Предложим теперь, что y  Y; то есть y  (A  B)  (A  C), тогда y  A  B и y  A  C. Возможны два случая:

• если y  A, то y  B и y  C, значит y  B  C; следовательно, y  A  (B  C)  y  X;

• если y  A, то y  A  (B  C) = X.

Из произвольности элемента y вытекает, что Y  X.

Таким образом, получили равенство множеств X = Y.

1.4. Метод математической индукции

Метод математической индукции используется для доказательства утверждений, в формулировке которых участвует натуральный параметр n. Метод математической индукции – метод доказательства математических утверждений, основанный на принципе математической индукции. Сформулируем этот принцип: утверждение A(n), зависящее от натурального параметра n, считается доказанным, если доказано A(1) и для каждого натурального числа k из предположения, что верно A(k) выведено, что верно A(k + 1).

Доказательство методом математической индукции состоит из трех этапов.

База индукции: проверяем, что A(n) верно при n = 1.

Предположение индукции: предполагаем, что A(k) истинно.

Шаг индукции: доказываем, используя предположение, что истинно A(k + 1).

Замечание 1.6. Если требуется доказать утверждение А(n), где n  N₀, то база индукции начинается с n = 0.

Замечание 1.7. Доказательство методом математической индукции можно начинать не с 1, а с любого натурального m. В этом случае утверждение считается истинным при n  m.

Замечание 1.8. С помощью принципа математической индукции можно давать индукционные определения. При этом для определения понятия А(n) (n  N), во-первых, задается значение А(1); во-вторых, для любого натурального числа k задается правило получения значения А(k + 1) по числу k и значению А(k).

Пример 1.11. Доказать равенство: 1 + 2 + … + n = .

Доказательство. Пусть А(n) = 1 + 2 + … + n.

База индукции: для n = 1 имеем верное равенство 1 = .

Предположение индукции: пусть для n = k имеем верное равенство: 1 + 2 + … + k = .

Шаг индукции: докажем, что при n = k + 1 будет верно равенство: 1 + 2 + … + k + (k + 1) = . Преобразуем левую часть этого равенства 1 + 2 + … + k + (k + 1) = А(k) + (k + 1) = + (k + 1) = = = = . Получили, что из истинности равенства при n = k (k – произвольное натуральное число) следует его истинность при n = k + 1.

По принципу математической индукции утверждение A(n) верно при любом натуральном n.