7. Арифметическое n-мерное векторное пространство

7.1. Основные понятия

В предыдущих разделах уже встречалось понятие о наборе из действительных чисел, расположенных в определенном порядке. Это матрица-строка (или матрица-столбец) и решение системы линейных уравнений с n неизвестными. Эти сведения можно обобщить.

Определение 7.1. n-мерным арифметическим вектором называется упорядоченный набор из n действительных чисел.

Значит а = (₁, ₂, …, _n), где _i  R, i = 1, 2, …, n – общий вид вектора. Число n называется размерностью вектора, а числа _i называются его координатами.

Например: а = (1, –8, 7, 4, ) – пятимерный вектор.

Все множество n-мерных векторов принято обозначать как Rⁿ.

Определение 7.2. Два вектора а = (₁, ₂, …, _n) и b = (₁, ₂, …, _n) одинаковой размерности равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие координаты, т. е. ₁ = ₁, ₂ = ₂, …, _n = _n.

Определение 7.3. Суммой двух n-мерных векторов а = (₁, ₂, …, _n) и b = (₁, ₂, …, _n) называется вектор a + b = (₁ + ₁, ₂ + ₂, …, _n + _n).

Определение 7.4. Произведением действительного числа k на вектор а = (₁, ₂, …, _n) называется вектор kа = (k₁, k₂, …, k_n)

Определение 7.5. Вектор о = (0, 0, …, 0) называется нулевым (или нуль–вектором).

Легко проверить, что действия (операции) сложения векторов и умножения их на действительное число обладают следующими свойствами:  a, b, c  Rⁿ,  k, l  R :

1. a + b = b + a;

2. a + (b + c) = (a + b) + c;

3. a + о = a;

4. a + (–a) = о;

5. 1a = a, 1  R;

6. k(la) = l(ka) = (lk)a;

7. (k + l)a = ka + la;

8. k(a + b) = ka + kb.

Определение 7.6. Множество Rⁿ с заданными на нем операциями сложения векторов и умножения их на действительное число называется арифметическим n-мерным векторным пространством.

7.2. Линейная зависимость и независимость системы векторов

Пусть а₁, а₂, …, а_m множество из m штук n-мерных векторов, о котором принято говорить – система векторов, и k₁, k₂, …, k_m – произвольные действительные числа.

Определение 7.7. Линейной комбинацией системы векторов а₁, а₂, …, а_m с коэффициентами k₁, k₂, …, k_m называется вектор b = k₁а₁ + k₂а₂ + … + k_mа_m.

Принято говорить: вектор b линейно выражается через векторы а₁, а₂, …, а_m или вектор b разложен (раскладывается) по векторам а₁, а₂, …, а_m.

Пример 7.1. Даны векторы а₁ = (3, 2, –1, 0), а₂ = (–1, 0, 4, 1), а₃ = (–2, –2, –3, –1). Найти вектор b = 2а₁ – а₂ – а₃.

Решение. b = 2а₁ – а₂ – а₃ = 2(3, 2, –1, 0) + (–1)(–1, 0, 4, 1) + (–1)(–2, –2, –3, –1) = (6, 4, –2, 0) + (1, 0, –4, –1) + (2, 2, 3, 1) = (9, 6, –3, 0).

Пример 7.2. Даны векторы а₁ = (6, 4, –2), а₂ = (–1, 0, 4), а₃ = (–2, –2, –3). Найти вектор b = а₁ + 2а₂ + 2а₃.

Решение. b = а₁ + 2а₂ + 2а₃ = (6, 4, –2) + 2(–1, 0, 4) + 2(–2, –2, –3) = = (6, 4, –2) + (–2, 0, 8) + (–4, –4, –6) = (0, 0, 0) = о.

Определение 7.8. Линейной оболочкой системы векторов а₁, а₂, …, а_m называется множество всех линейных комбинаций этих векторов. Принятое обозначение: L(а₁, а₂, …, а_m).

Из определения следует, что

L(а₁, а₂, …, а_m) = {k₁а₁ + k₂а₂ + … + k_ma_m, k_i  R}.

Если вектор b линейно выражается через векторы а₁, а₂, …, а_m, то в этих обозначениях можно записать, что b  L(а₁, а₂, …, а_m).

Определение 7.9. Линейная комбинация системы векторов а₁, а₂, …, а_m вида 0а₁ + 0а₂ + … + 0а_m называется нулевой. Нулевая линейная комбинация векторов равна нулевому вектору.

Определение 7.10. Система векторов а₁, а₂, …, а_m называется линейно независимой, если линейная комбинация этих векторов равна нулевому вектору тогда и только тогда, когда эта комбинация нулевая, то есть

k₁а₁ + k₂а₂ + … + k_ma_m = о  k₁ = 0, k₂ = 0, …, k_m = 0.

Равносильное определение линейно независимой системы векторов звучит следующим образом: система векторов линейно независима тогда и только тогда, когда ни один вектор нельзя выразить через остальные векторы.

Определение 7.11. Система векторов а₁, а₂, …, а_m называется линейно зависимой, если существуют коэффициенты k₁, k₂,…, k_m, не все одновременно равные нулю и такие, что k₁а₁ + k₂а₂ + … + k_ma_m = о.

Равносильное определение линейно зависимой системы векторов звучит следующим образом: система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда в этой системе существует хотя бы один вектор, который линейно выражается через остальные.

Если система векторов состоит только из одного вектора, то эта система линейно зависима, если этот вектор нулевой, и линейно независима, если он ненулевой.

Система векторов, содержащая два вектора, линейно зависима в случае пропорциональности координат этих векторов, и линейно независима в противном случае.