МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Костромской государственный университет имени Н. А. Некрасова
Т. Н. Матыцина е. К. Коржевина линейная алгебра
Учебно-методическое пособие
Кострома
2
013
ББК 22.174я73-5
М350
Печатается по решению редакционно-издательского совета
КГУ им. Н. А. Некрасова
Рецензент
А. В. Чередникова, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики КГТУ
А. К. Сухов, , кандидат физико-математических наук, доцент кафедры прикладной математики и информатики КГУ им. Н. А. Некрасова
|
М350 |
Матыцина Т. Н. Линейная алгебра : учеб.-метод. пособие [Текст] / Т. Н. Матыцина, Е. К. Коржевина. – Кострома : КГУ им. Н. А. Некрасова, 2013. – 149 с. |
|
|
В пособии рассматриваются следующие разделы линейной алгебры: теория множеств, матрицы и определители, системы линейных алгебраических уравнений, векторные пространства, линейные операторы, комплексные числа. Теоретический материал изложен в доступной форме, но с сохранением необходимого уровня строгости изложения, сопровождается большим количеством примеров и решением типовых задач. Пособие предназначено для студентов бакалавриата 1–2 курсов физико-математического факультета, обучающихся по направлению подготовки: 010400.62 – «Прикладная математика и информатика», 011200 – «Физика», 050100.62 – «Педагогическое образование» профиль подготовки: Математика, 050100.62 – «Педагогическое образование» профиль подготовки: Математика, Информатика и ИКТ; направление подготовки: 080500.62 – «Бизнес-информатика», 080100.62 «Экономика» различных профилей.
|
ББК 22.174я73-5
Т. Н. Матыцина, Е. К. Коржевина 2013
КГУ
им. Н. А.
Некрасова, 2013 
Оглавление
Введение 6
1. Множества 7
1. 1. Множества и их элементы. Способы задания множеств 7
1.2. Подмножество. Диаграммы Эйлера – Венна 10
1.3. Операции над множествами и их свойства 12
1.4. Метод математической индукции 18
1.5. Комплексные числа 19
2. Бинарные отношения 30
2.1. Понятие отношения 30
2.2. Свойства бинарных отношений 34
2.3. Отношение эквивалентности 37
2.4. Функции 40
3. Матрицы и действия над ними 41
3.1. Общие понятия 41
3.2. Основные операции над матрицами и их свойства 44
3.2.1. Сложение однотипных матриц 44
3.2.2. Умножение матрицы на действительное число 44
3.2.3. Умножение согласованных матриц 45
3.3. Транспонирование матриц 48
4. Определители квадратных матриц 48
4.1. Определители матриц второго и третьего порядка 48
4.2. Определитель матрицы n-го порядка 51
4.3. Свойства определителей 52
4.4. Практическое вычисление определителей 53
5. Ранг матрицы. Обратная матрица 55
5.1. Понятие ранга матрицы 55
5.2. Нахождение ранга матрицы методом окаймления миноров 56
5.3. Нахождение ранга матрицы с помощью элементарных преобразований 59
5.4. Понятие обратной матрицы и способы ее нахождения 60
6. Системы линейных уравнений 63
6.1. Основные понятия и определения 63
6.2. Методы решения систем линейных уравнений 65
6.2.1. Метод Крамера 65
6.2.1. Метод обратной матрицы 67
6.2.1. Метод Гаусса 68
6.3. Исследование системы линейных уравнений 73
6.4. Однородные системы линейных уравнений 74
7. Арифметическое n-мерное векторное пространство 78
7.1. Основные понятия 78
7.2. Линейная зависимость и независимость системы векторов 79
7.3. Базис и ранг системы векторов 83
8. Векторные (линейные) пространства 86
8.1. Определение векторного пространства над произвольным полем 86
8.2. Подпространства. Линейные многообразия 89
8.3. Базис и размерность векторного пространства 91
8.3.1. Конечномерные векторные пространства 91
8.3.2. Базисы и размерности подпространств 93
8.3.3. Координаты вектора относительно данного базиса 95
8.3.4. Координаты вектора в различных базисах 97
8.4. Евклидовы векторные пространства 99
9. Линейные операторы 106
9.1. Основные понятия и способы задания линейных операторов 106
9.2. Матрица линейного оператора 110
9.3. Подобные матрицы 112
9.4. Действия над линейными операторами 113
9.5. Ядро и образ линейного оператора 115
9.6. Обратимые линейные операторы 116
9.7. Собственные векторы линейного оператора 117
9.7.1. Свойства собственных векторов 118
9.7.2. Характеристический многочлен матрицы 119
9.7.3. Нахождение собственных векторов линейного оператора 120
9.7.4. Алгоритм нахождения собственных векторов линейного оператора 121
9.7.5. Условия, при которых матрица подобна диагональной матрице 123
10. Жорданова нормальная форма матрицы линейного оператора 126
10.1. Понятие λ-матрицы 126
10.2. Жорданова нормальная форма 129
10.3. Приведение матрицы к жордановой (нормальной) форме 130
11. Билинейные и квадратичные формы 133
10.1. Билинейные формы 133
10.2. Квадратичные формы 135
Заключение 146
Библиографический список 147
