ТОЭ / ТОЭ ТУСУР

70

Передаточная комплексная функция (комплексный ко-

эффициент передачи) цепи определяет реакцию цепи на внешнее воздействие и равна отношению выходной величины (напряжение, ток) к входной величине (напряжение, ток), выраженных в комплексной форме.

Различают четыре вида передаточных функций:

– передаточная функция по напряжению

Kи( jω) = Uвых( jω) ; Uвх( jω)

– передаточная функция по току

KI ( jω) = Iвых( jω) ; Iвх( jω)

– передаточная проводимость

KY ( jω) = Iвых( jω) . Uвх( jω)

71

Зависимость модуля передаточной функции K (ω) от часто-

ты называется амплитудной частотной характеристикой

(АЧХ), зависимость аргумента передаточной функции ϕ(ω) —

фазовой частотной характеристикой (ФЧХ). На комплексной плоскости можно построить геометрическое место конца вектора

K ( jω) при изменении частоты — амплитудно-фазовую частотную характеристику (АФЧХ).

3.7 Явление резонанса

Пусть пассивный двухполюсник содержит одну или несколько индуктивностей и одну или несколько емкостей (и, конечно, активные сопротивления). Под резонансным режимом работы такого двухполюсника понимают режим, при котором входное сопротивление двухполюсника является чисто активным.

По отношению к внешней цепи двухполюсник в резонансном режиме ведет себя как активное сопротивление, поэтому ток и напряжение на его входе совпадают по фазе. Реактивная мощность двухполюсника при этом равна нулю.

Различают две основные разновидности резонансных режимов: резонанс токов и резонанс напряжений.

Резонанс напряжений возникает в последовательной RLC- цепи, представленной на рис. 50, а.

R

I

72

При резонансе ток в цепи должен совпадать по фазе с э.д.с. E . Это возможно, если входное сопротивление схемы Z = R + j(ωL −1ωC) будет чисто активным. Условие наступления резонанса в схеме (см. рис. 50, а)

Здесь значения противоположных по фазе напряжений на индуктивности и емкости равны, как показано на диаграмме (рис. 50, б), поэтому резонанс в последовательной цепи получил название резонанса напряжений.

Напряжения на индуктивности и емкости при резонансе могут значительно превышать напряжение на входных зажимах, которое равно напряжению на активном сопротивлении.

Полное сопротивление цепи z при Х = 0 минимально: z = R2 + X 2 = R , а ток I максимален.

Резонанса можно достичь, изменяя один из трех параметров: ω, L или С. Угловая частота, при которой наступает резонанс, называется угловой резонансной частотой и определяется из усло-

Соответственно резонансная частота

f 0 =12π LC.

Индуктивное и емкостное сопротивления при резонансе —

ω0 L =1 ω0C = L C = ρ.

Величина ρ называется характеристическим сопротивлением. Напряжения на реактивных элементах —

U L =U C = ω0LI = ω0L E. R

Отношение

называется добротностью резонансного контура. Добротность показывает, во сколько раз напряжение на индуктивном (емкостном) элементе превышает напряжение на входе схемы в резонансном режиме.

73

Примерный вид зависимости тока от частоты для рассматриваемой схемы (при неизменном значении Е) представлен на рис. 51 и называется амплитудной частотной характеристикой.

II p

1

1 2

0

ωн ωв ω

Рис. 51

График АЧХ показывает, что последовательная RLC-цепь (последовательный резонансный контур) обладает избирательными свойствами, которые характеризуются полосой пропускания. Полоса пропускания П = ωв −ωн определяется из условия,

что ток на частотах ωн и ωв уменьшается в 2 раз по сравнению с током при резонансе. Здесь частоты ωн и ωв являются соответ-

ственно нижней и верхней границами полосы пропускания. Установим связь между добротностью, полосой пропуска-

ния и резонансной частотой.

Комплекс действующего значения тока в цепи I , действующее значение тока в цепи I и действующее значение тока при резонансе I p соответственно равны:

Отсюда

2R2 = R2 +( X L − XC )2

В (46) знак «минус» перед скобкой соответствует нижней, а знак «плюс» — верхней границам полосы пропускания.

Из (45) выразим

R = ω0 L Q

и подставим в (46) для нижней границы полосы пропускания, используя параметры реактивных элементов:

76

ϕ

90°

45°

−45°

−90°

Рис. 52

Явление резонанса в схеме на рис. 53, а с параллельными ветвями, содержащими разнохарактерные реактивные сопротивления, называется резонансом токов.

I E

I

I1

I2 R2 С

а

Рис. 53

Ток I1 в ветви с индуктивностью отстает от э.д.с E (см. диаграмму на рис. 53, б) и может быть записан как

I1 = EY1.

Ток I 2 в ветви с емкостью опережает напряжение:

I 2 = EY2.

Ток в неразветвленной части цепи —

I = I1 + I2 = E (Y1 +Y2 ) = E Y .

77

Определим комплексную проводимость Y :

проводимости Y равна нулю.

Следовательно, условие наступления режима резонанса то-

Изменением одной из величин в (51) при неизменных остальных четырех не всегда может быть достигнут резонанс. Резонанс отсутствует, если значение изменяемой величины, вычисленное по (51), получается мнимым или комплексным. Например, решим (51) относительно ω:

оба меньше ρ.

Эквивалентная проводимость контура при резонансе равна действительной части комплексной проводимости:

78

Потребляемый от источника ток при резонансе минимален и рассчитывается по следующему соотношению:

I p = Eρ(2R+1 + R2 ). R1R2

Примерный вид АЧХ для параллельного колебательного контура представлен на рис. 54.

I

I p 2

I p

Рис. 54

Избирательные свойства этого контура, так же как и последовательного, характеризуются полосой пропускания. Границы полосы пропускания ωн и ωв здесь соответствуют увеличению

тока источника по сравнению с резонансным в 2 раз.

79

Если в контуре потери малы, что характерно для радиотехники и электросвязи, то можно считать R1 ≈ 0, R 2 ≈ 0 и резонанс-

ная частота в параллельном контуре будет определяться тем же соотношением, что и в последовательном (см. формулу 44).

Построим зависимость тока от частоты I(ω) в неразветвленной части схемы для идеального случая R1 = R2 = 0.

На рис. 55 показаны частотные характеристики проводимостей ветвей b1 = bL =1ωL и b2 = −bC = −ωC и входной проводи-

мости цепи b = b1 +b2 =1ωL −ωC. Ток I = b E , поэтому кривая b = F(ω) в соответствующем масштабе и есть резонансная кривая тока I (ω) .

b, I

b1 = bL

b

b

0 ω

b2 = −bC

Рис. 55

При изменении частоты от 0 до ω0 =1 LC эквивалентная

проводимость b > 0, т.е. индуктивная, и изменяется от ∞ до нуля. При ω= ω0 наступает резонанс токов, b = 0, I = 0, I1 = E ω0L = E ρ

и I 2 = ω0CE = Eρ. При возрастании частоты от ω0 до ∞ входная проводимость b<0, т.е. емкостная, и изменяется от нуля до −∞.

Пример 17

Для схемы на рис. 50, а дано: R=10 Ом; L= 0,1 мГн; С=100 пФ;

Е=1 В.

Требуется определить величину напряжений на индуктивности и емкости и активную мощность цепи при резонансе.