ТОЭ / ТОЭ ТУСУР

60

Мгновенная мощность имеет постоянную составляющую и переменную двойной частоты. Диаграммы изменения u, i, p приведены на рис. 42. На интервалах, когда u и i имеют одинаковое направление, мгновенная мощность положительна, энергия потребляется от источника. На интервалах, когда u и i имеют противоположное направление, мгновенная мощность отрицательна и энергия возвращается источнику.

Рис. 42

Среднее значение мгновенной мощности за период переменного напряжения (или тока) называется активной мощностью и обозначается, как и в цепях постоянного тока, прописной буквой P. Так как среднее значение гармонической составляющей

Активная мощность физически представляет собой энергию, которая выделяется в единицу времени в виде теплоты на участке цепи с сопротивлением R:

P =Ua I = RI 2,

где U a =U cos ϕ — активная составляющая напряжения. Единицей измерения активной мощности является ватт (Вт). Под реактивной мощностью Q понимают произведение

В зависимости от знака ϕ реактивная мощность может быть как положительной, так и отрицательной.

Единица измерения здесь та же, что и у активной мощности, но для различия используется вольт-ампер реактивный (ВАр).

61

Реактивная мощность характеризует собой ту энергию, которой обмениваются генератор и приемник (если реактивных элементов в приемнике нет, то cosϕ =1; ϕ = 0, мгновенная мощность не имеет отрицательных значений, реактивная мощность равна нулю).

Полная (или кажущаяся) мощность

Единица полной мощности — В А.

Полную мощность можно характеризовать как максимальную активную мощность, которую мог бы отдать генератор при активной нагрузке.

Мощности Р, Q и S связаны следующей зависимостью:

Очень важной характеристикой цепей переменного тока является отношение

Для лучшего использования электрических генераторов желательно иметь максимально возможное значение cos ϕ. Напри-

ность 14 300 кВА, а при cosϕ =1 — на 10 000 кВА.

Высокое значение cos ϕ желательно также для уменьшения потерь в ЛЭП. При неизменной активной мощности Р приемника ток в линии тем меньше, чем больше значение cos ϕ:

Большинство реальных потребителей электроэнергии имеют индуктивный характер нагрузки, т.е. в сети ток отстает от напряжения. Отмеченное можно проиллюстрировать схемой на рис. 43, а (конденсатор отключен) и векторной диаграммой на рис. 43, б.

Подключение в схему конденсатора приведет к изменению тока I, что можно проследить по векторной диаграмме на рис. 44 (для удобства построений здесь вектор E направлен вертикально, но взаимное расположение векторов E и I н не изменилось).

E

I a = I нa

I

I н

ϕ2 ϕ1

I C

I p = I нp − I C

Рис. 44

На диаграмме обозначено: I a и I p — активная и реактивная составляющие тока I; I нa и I нp — активная и реактивная составляющие тока I н.

63

Компенсация сдвига фаз существенна для энергоемких потребителей, например промышленных предприятий. Осуществляется она в местах ввода линии питания в распределительном устройстве. Экономически выгодно подключать конденсаторы на возможно более высокое напряжение, так как величина С обратно пропорциональна квадрату напряжения.

Рассмотрим простой прием расчета активной и реактивной мощностей. Пусть задан некоторый комплекс

A = Ae jϕA = Acos ϕA + jAsin ϕA.

Введем понятие сопряженного комплекса. Под комплексом

A, сопряженным с комплексом А, будем понимать комплекс

U =U e jϕu , ток по этому участку I = I e jϕi . Угол между напряжением и током ϕ = ϕu −ϕi . Умножим комплекс напряжения на со-

Значок ~ (тильда) над S обозначает комплекс (а не сопряженный комплекс) полной мощности, составленный при участии

сопряженного комплекса тока I .

64

Таким образом, активная мощность Р есть действительная часть (Re), а реактивная мощность Q — мнимая часть (Im) произ-

ведения U I :

Для определения же полной мощности следует пользоваться только формулой (40).

Из закона сохранения энергии следует, что в любой цепи должен соблюдаться баланс мощностей. Для цепей переменного тока он формулируется следующим образом: сумма активных мощностей источников равна сумме активных мощностей приемников, а сумма реактивных мощностей источников равна сумме реактивных мощностей приемников.

При этом под реактивной мощностью приемников энергии понимается сумма произведений квадратов токов ветвей на реактивные сопротивления ветвей с учетом их знака.

Реактивная мощность, получаемая индуктивным элементом, положительна, а емкостным — отрицательна. Поэтому баланс для полных мощностей не соблюдается (на основании (39)

S = P2 + Q2 , но в этом выражении знак Q роли не играет).

Для экспериментального определения мощности применяются специальные приборы — ваттметры. Ваттметр содержит две обмотки и соответственно две пары зажимов для подключения его в цепь. Одна обмотка включается в цепь последовательно, по-

65

чений напряжения U ab на ток I и на косинус угла сдвига между током и напряжением (предполагается, что ток втекает в вывод последовательной обмотки, отмеченной звездочкой, а напряжение на параллельной обмотке равно разности потенциалов между выводом со звездочкой — точка а на рис. 45 — и выводом без звездочки — точка b на рисунке).

Как правило, ваттметр включают в схему так, что он измеряет активную мощность. Но можно при определенном подключении измерять и реактивную мощность.

Пример 15

Приборы, подключенные к цепи на рис. 46, дали следующие показания: U = 65 В; I = 5 А; P = 300 Вт.

Требуется вычислить комплексное сопротивление Z и комплексные проводимости Y цепи для случаев: а) ϕ > 0; б) ϕ < 0.

W

Рис. 46

Модуль сопротивления и его аргумент: z =U I = 65 5 =13 Ом;

cos ϕ = P = 300 = 0,923; ϕ = ±22,6°. UI 65 5

Искомые комплексные сопротивления и проводимости цепи:

а) ϕ > 0 :

Z = ze jϕ =13e j22,6 =13cos 22,6 + j13sin 22,6 = =13 0,923 + j13 0,385 = (12 + j5) Ом;

Найдем активные мощностивсей цепи иотдельных ее ветвей:

68

P1 + P2 + P3 = I 12 R1 + I 22 R2 + I 32 R3 =

=4,52 10 + 2,742 24 + 2,742 15 = 202,5 + 180, 2 + 112, 6 = 495,3 Вт.

Сучетом погрешности вычислений баланс активных мощностей выполняется.

Наконец, определим реактивные мощности всей цепи и отдельных ее ветвей:

Отсюда видно, что выполняется и баланс реактивных мощностей.

На рис. 48 приведена векторная диаграмма.

I 2

− j X 2I 2

ном участке U ab . Тот же вектор может быть получен, если в фазе

3.6 Частотные характеристики

К частотным характеристикам электрических цепей относятся входные и передаточные функции, записанные в комплексной форме.

Входная комплексная функция цепи – это зависимость от частоты комплексного сопротивления

Z ( j ω) = z (ω) e jϕ(ω) = r (ω) + jx(ω)

или комплексной проводимости

Y ( j ω) = y (ω) e− jϕ(ω) = g (ω) − jb(ω)

относительно двух заданных выводов.

В качестве примера построим зависимость от частоты модуля z (ω) и аргумента ϕ(ω) входного комплексного сопротивления

схемы на рис. 49, а Входное сопротивление

Зависимости z (ω) и ϕ(ω) показаны на рис. 49, б, в.