Теперь система уравнений (111), полученная из уравнения Шрёдингера и описывающая возможные значения энергии электрона
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
k |
p |
|
E ap Vqap q 0. |
111 |
|
2m |
|
||||||
|
|
|
|
|
q |
|
|
принимает более простой вид
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
k |
p |
|
E ap Vp a0 |
0. |
2m |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
Зависимость энергии от квазиволнового вектора также представим в виде ряда, аналогичного ряду теории возмущений
E E 0 E 1 E 2 ...
и ограничимся первым слагаемым этого ряда
E E 0 2k2 . 2m
Подставим это значение энергии в систему уравнений
|
2 |
|
|
2 |
|
|
k |
p |
|
2m |
|
|||
|
|
|
|
|
2 |
k p |
2 |
|
|||
|
|
|
|
||||
2m |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
ap |
|
2 |
k |
||
|
|
|
|
|
|||
|
|
a |
2m |
||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
E ap Vqa0 0.
2 |
k |
2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
ap Vq a0 0. |
||||||
2m |
|
|
|
|
|
||||
p |
2 |
|
2 |
k |
2 |
|
Vq . |
||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
2m |
|
|
||
Отсюда |
ap |
|
|
|
Vq |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
2 |
|
|
|
2k 2 |
|
||
|
a0 |
|
k p |
2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
2m |
|
2m |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Знаменатель дроби может обращаться в ноль, следовательно, некоторые из слагаемых ряда, определяющего блоховскую функцию электрона в кристалле (слагаемые с некоторыми определёнными значениями квазиимпульса) велики по сравнению с другими слагаемыми.
Эти слагаемые будем называть резонансными и отметим, что резонанс наблюдается на границах зоны Бриллюэна (при значениях квазиимпульса, соответствующих границам зоны Бриллюэна).
Пусть для некоторого значения квазиволнового вектора p = q выполняется
условие резонанса, то есть |
|
|
2 |
|
|
|
|
k |
2 |
. |
|||
|
k |
p |
|
|
Тогда из бесконечномерной системы уравнений останутся только два уравнения, содержащих нулевое и резонансное слагаемые ряда
p0 :
pq :
2k 2
2m
2k 2
2m
a0 Vq a q 0.
aq Vq a0 0.
Обычно (для подавляющего большинства потенциалов)
Vq V q , |
|
|
ap a p . |
|||
|
2 |
k |
2 |
|
|
|
|
|
|
a0 Vq aq 0, |
|||
|
2m |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
2k2 |
|
|
|
|
|
|||
Vqa0 |
|
2m |
aq 0. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
Определитель этой системы уравнений должен быть равен нулю.
|
|
2k 2 |
|
|
Vq |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
2m |
|
|
|
|
|
2 |
k |
2 |
|
|
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V 2 |
0. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
2 |
k |
2 |
|
|
2m |
|
q |
|
|||||
|
|
Vq |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2k 2 |
|
|
|
|
|
|
2k2 |
|
|
0. |
|
|
2m |
Vq |
2m |
Vq |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Откуда |
|
|
|
|
|
2k2 |
V . |
|
|
|||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
2m |
|
q |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2k |
2 |
V . |
|
|
|||
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
2m |
|
q |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Таким образом, в точке резонанса существуют два значения энергии, разделённых интервалом энергии
E 2Vq .
Выясним, при каких значениях квазиволнового вектора наблюдается резонанс, и, следовательно, разрыв функции, отражающей зависимость энергии от волнового вектора.
Резонанс наблюдается, если знаменатель дроби
ap |
|
|
|
Vq |
|
|
|
|
. |
|
|
2 |
|
|
|
2k 2 |
|
||
a0 |
|
k p |
2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
2m |
|
2m |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
стремится к нулю. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Это возможно, если |
2 |
|
|
|
|
|
2k 2 |
|
|
|
k p |
2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
0, |
||
|
2m |
|
2m |
|||||
|
|
|
k p 2 |
k 2. |
||||
|
k2 2 kp |
p2 k 2 , |
||||||
|
|
|
2 kp p2 |
|||||
2 kp p2.
Здесь k – произвольный квазиволновой вектор, p – вектор обратной решётки. В одномерном случае можно записать:
|
|
2 |
p, |
2 |
2 2 |
2 |
||
p |
|
p |
|
|
|
p . |
||
|
|
a |
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2k |
2 |
|
2 2 |
p |
2 |
, |
|
a |
p |
a |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||
k a p.
Это означает, что резонанс имеет место на границе зоны Бриллюэна.
Зависимость E(k) представлена на рисунке. точками обозначены отдельные значения k, которым соответствуют собственные значения энергии.
Электронные состояния в кристаллах
5. Плотность электронных состояний.
Важной характеристикой твёрдого тела является плотность электронных состояний n(E) или g(E). Эта величина показывает, сколько разрешённых электронных состояний приходится на единичный интервал энергии.
g(E) n(E) dNdE ,
где N – число разрешённых электронных состояний.
Подчеркнём, что в данном случае речь идёт не о числе электронов, а о числе электронных состояний. Эти состояния могут быть как заполненными, так и свободными.
Каждому электронному состоянию на рисунке соответствует точка. Закрашенная точка соответствует заполненному состоянию, «пустая» – свободному состоянию.
Плотность электронных состояний равна числу точек (закрашенных или «пустых»), приходящихся на интервал энергии dE.
Кристаллы трёхмерны, поэтому и обратное пространство квазиволновых векторов имеет три измерения. Поэтому зависимость E(k) представляет собой поверхность в этом пространстве.
E E(kx ,ky ,kz ).
В кристаллах зависимость E(k) представляет собой многолистную поверхность в обратном пространстве.
