Добавил:

cc2d3p Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Южный Федеральный Университет

Предмет:

Квантовая механика

Файл:

Лекции по квантовой механике / Лекция по КМ №12 - Молекулы и кристаллы.pptx

Скачиваний:

Добавлен:

01.03.2023

Размер:

1.88 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 64 5 6 > Следующая >>>

Для обратной решётки, как и для обычной кристаллической решётки, можно выделить элементарную ячейку, транслируя которую, можно воспроизвести всю бесконечную обратную решётку. Такая элементарная ячейка обратной решётки в обратном фазовом пространстве называется ячейкой Вигнера – Зейтца.

Электронные состояния в кристаллах

4.Состояния электронов

вкристалле.

Состояния электронов в кристалле.

Для того, чтобы описать стационарные состояния электронов в кристалле, рассмотрим стационарное уравнение Шрёдингера


		2
			2 r V r r		E r .
		2m	2 r V r r		E r .
		2m		функция,		описывающая изменение
Здесь V r	- периодическая			функция,		описывающая изменение

потенциальной энергии электрона в кристалле, E – энергия электрона.

Согласно теореме Блоха волновая функция электрона может быть представлена в виде произведения плоской волны на периодическую по

кристаллу функцию:
	k r eikr uk r .

Зависимость потенциальной энергии от координат разложим в ряд Фурье:

V r Vqeiqr .

Периодическую по решётке функцию также разложим в ряд Фурье:

u r apeipr .

Теперь волновую функцию электрона можно записать в виде:


	ikr		ikr	ape	ipr	ape	i k p r	.
k r e		uk r e		ape		ape		.
				p		p

Подставим разложение потенциальной энергии в ряд и волновую функцию в виде ряда в уравнение Шрёдингера. Для этого найдём сначала выражения для всех слагаемых в этом уравнении.

Первое слагаемое:

k p

ape

	2			2	i
						k p	r
		i2 k	p		ape
2m
		p

	2
		eikr

2m			p

		2
k	p		apeipr .

Второе слагаемое:
	V r		r Vqeiqr
	V r		r Vqeiqr		ap ei k p		r

			q		p

eikr Vqeiqr			ap eip r	eikr Vq ap eiqr eip r
		q	p		q p

	eikr	Vqap ei q p r .

		q p
q, p, p - векторы обратной решётки. Обозначим p = q +						p . Этот вектор
тоже будет вектором обратной решётки. p = p – q. Заменим суммирование
по	p на суммирование по p, так как в обоих случаях суммирование
проводится по всей обратной решётке.
	V r
	V r		r eikr Vq ap qeipr .

Третье слагаемое (правая часть):

E r E apei k p r p


eikr	E apeipr .
	p

Подставляем полученные выражения в уравнение Шрёдингера:

2 r V r r E

r .

eikr

apeipr eikr

Vqap qeipr

eikr

E apeipr .

Полученное уравнение обращается в тождество при

apeipr

Vqap qeipr

E apeipr .

Объединим все слагаемые под знаком суммы по p:

ap Vqap q Eap

eipr

Таким образом, мы получили систему алгебраических уравнений. Для каждого члена ряда можно записать:

k p

ap Vqap q Eap 0.

p q

V a

111

Мы получили систему алгебраических уравнений для определения коэффициентов ap .

Зная коэффициенты, мы сможем записать волновую функцию электрона в кристалле и, следовательно, определить значения любых величин, характеризующих его движение.

Нетривиальные решения системы алгебраических уравнений возможны, если её определитель равен нулю.

Рассмотрим случай свободных электронов. Эта модель может быть применена для описания электронных состояний в простых металлах (Na, K, Cs).

Электроны практически не взаимодействуют с ядрами атомов в узлах решётки. Потенциальной энергией взаимодействия можно пренебречь. Для

любого вектора q

Vq 0.

Система уравнений

E ap Vq ap q 0

Принимает вид

k p

E ap

Решения возможны, если

	2			2
E		k	p		.
E	2m	k	p		.
	2m

Векторы k и p являются векторами решётки, следовательно, вектор k + p также является вектором решётки.

Зависимость энергии от квазиволнового вектора можно переписать так

E k 2k2 . 2m

Зависимость энергии от квазиимпульса совпадает с зависимостью энергии от импульса для свободной частицы.

Энергия электрона может принимать любые значения.

Так как свойства кристалла периодичны, периодична в обратной решётке и зависимость энергии от квазиимпульса. Принято изображать графически эту зависимость в пределах первой зоны Бриллюэна.

Рассмотрим случай слабо связанных электронов. Электроны взаимодействуют с ионами атомов в узлах решётки. Потенциальную энергию взаимодействия можно представить в виде ряда Фурье

V Vq ap q .

При этом, если электроны слабо взаимодействуют с ионами атомов в узлах решётки, то в разложении потенциальной энергии можно ограничиться одним слагаемым

V Vq ap q

Мы ограничились одним слагаемым ряда, поэтому должны взять только слагаемое с коэффициентом a0 .

Таким образом, p – q = 0, следовательно, p = q.

V Vp a0.