11.20. Кручение стержня треугольного сечения

Рассмотрим стержень с равносторонним треугольным сечением (рис. 11.37).

Рис. 11.37

276

Контур сечения определяется уравнением

(11.141)

Примем функцию депланации в виде

(11.142)

Она удовлетворяет уравнению Лапласа и поэтому является решением задачи Сен-Венана о кручении.

Подставляя (11.142) в граничные условия (11.113), получаем:

,

откуда следует:

(11.143)

где С – постоянная интегрирования.

Если в (11.143) положить А = -1/6а, С = 2а²/3,

то получим:

(11.144)

Первая часть полученного уравнения (11.144) представляет собой про-

изведение левых частей уравнений сторон равностороннего треугольника

(рис. 11.37). Поэтому контурные условия всегда выполняются.

Вычислим геометрическую жёсткость:

(11.145)

Интегрирование по ведётся от до x = a и по от нуля до . В результате получим:

,

где

Относительный угол поворота:

277

Вычисляем напряжения:

Полагая получаем:

Эпюра для у = 0 показана на рис. 11.37.