9.263 9.264

9.265 9.266

9.267 9.268

9.269 9.270

9.271 9.272

Однородная линейная система уравнений с постоянными коэффициентами ,, гденазывается системой уравненийпервого приближения для системы ,. При этом справедливо следующее утверждение: если все корни характеристического уравнения системы первого приближения имеют отрицательные действительные части, то её точка покоя, а также исходной системы асимптотически устойчива; если хотя бы один из корней характеристического уравнения системы первого приближения имеет положительную действительную часть, то её точка покоя, а также исходной системы неустойчива. Если же среди корней характеристического уравнения имеется хотя бы одно с нулевой действительной частью, а остальные – с отрицательной, то в этом случае исследование на устойчивость по первому приближению невозможно, так как начинает сказываться влияние членов второго порядка малости относительно.

В задачах 9.273-9.278 исследовать на устойчивость по первому приближению нулевое решение следующих систем:

9.273 9.274

9.275 9.276

9.277 9.278

В задачах 9.279-9.280 исследовать, при каких значениях параметра асимптотически устойчиво нулевое решение:

9.279 9.280

§4. Разностные уравнения.

Если неизвестная функция и заданная функцияявляются функциями одного целочисленного аргумента, то уравнение вида,, где- постоянные коэффициенты, называетсялинейным разностным уравнением (ЛРУ) го порядка с постоянными коэффициентами.Если , то уравнение называетсяоднородным.

Функция ,, обращающая разностное уравнение в тождество, называется егорешением.

Условия ,,…,, где,,…,- заданные числа, называются начальными условиями.

Общим решением РУ -го порядка называется решение, зависящее отпроизвольных постоянных, такое, из которого при надлежащем выборе значений постоянныхможно получить решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям,,…,.Частным решением называется решение , получаемое из общего при конкретных значениях постоянных.

Общее решение однородного ЛРУ -го порядкаищется, аналогично общему решению дифференциального уравнения, в виде, где- фундаментальная система его решений;- произвольные постоянные.

Фундаментальной системой решений однородного ЛРУ -го порядканазывается любая система излинейно независимых частных решений,,…,этого уравнения.

Фундаментальная система решений строится на основе характера корнейхарактеристического уравнения . А именно:1) если - действительный простой корень характеристического уравнения, то ему в ФСР соответствует частное решениеразностного уравнения;2) если - действительный корень кратности, то ему в ФСР соответствуетлинейно независимых частных решений:,,,…,;3) если - пара простых комплексно-сопряжённых корней характеристического уравнения, то ей в ФСР соответствует два линейно независимых частных решения:,, где,.

Общее решение неоднородного линейного разностного уравнения имеет вид, где- общее решение соответствующего однородного разностного уравнения,- какое-нибудь частное решение данного неоднородного уравнения.

Как и в случае дифференциальных уравнений, частное решение разностного уравнения с правой частью специального видаищетсяметодом неопределённых коэффициентов в виде , где, если число, для которогои, не является корнем характеристического уравнения, иравно кратности корняв противном случае;и- полные многочлены степенис неопределёнными коэффициентами. Примерами полных многочленов с неопределёнными коэффициентами степенисоответственно являются:,,,,…. Для нахождения коэффициентов многочленови, надо подставить решениев неоднородное разностное уравнение и приравнять коэффициенты при подобных членах в левой и правой частях полученного равенства. В результате получим систему уравнений, решив которую, найдём значения коэффициентов.

В задачах 9.281-9.288 найти общие решения следующих однородных разностных уравнений: