9.245 9.246

9.247 9.248

9.249 9.250

9.251 9.252

В задачах 9.253-9.258 найти общие решения следующих однородных систем уравнений (для облегчения работы в задачах указаны корни характеристического уравнения):

9.253 9.254

9.255 9.256

9.2579.258

В задачах 9.259-9.262 найти методом исключения общие решения следующих неоднородных систем уравнений:

9.259 . 9.260 .

9.261 . 9.262 .

Решение нормальной системы ДУ,, определённое при всехназываетсяустойчивым по Ляпунову, если для любого существуеттакое, что для всякого решениятой же системы, значения которого в точкеудовлетворяют неравенствам,, при всехсправедливы неравенства,. Если решениене только устойчиво, но и при условии,, удовлетворяет соотношению,, то это решение называетсяасимптотически устойчивым.

Если система дифференциальных уравнений описывает некоторое движение, то в случае устойчивости решений характер движений мало изменяется при малом изменении начальных данных.

Вопрос об устойчивости решения системы,, сводится к вопросу об устойчивости нулевого решения (точки покоя) другой системы, получаемой из данной с помощью замены,.

Точкой покоя системы ,, где функции,- непрерывно дифференцируемы, называется такая точка, в которойи.

Точкой покоя системы двух однородных ЛДУ с постоянными коэффициентами ,,является начало координат, т.е. нулевое решение данной системы. Для исследования точки покоя такой системы, надо найти корниихарактеристического уравнения системыи в зависимости от вида корней, определить характер точки покоя, в соответствие с приведённой в таблице их классификацией.

Корни ,		Характер точки покоя	Устойчивость точки покоя
Действительные и различные:	,	Устойчивый узел (рис. a)	Асимптотически устойчива
	,	Неустойчивый узел (рис. a)	Неустойчива
	Разных знаков	Седло (рис. б)	Неустойчива
Комплексно-сопряжённые:	,	Устойчивый фокус (рис. в)	Асимптотически устойчива
	,	Неустойчивый фокус (рис. в)	Неустойчива
	,	Центр (рис. г)	Устойчива
Действительные и равные		Устойчивый вырожденный узел (рис. д)	Асимптотически устойчива
		Неустойчивый вырожденный узел (рис. д)	Неустойчива
Действительные и равные (для системы ,)		Устойчивый дикритический узел (рис. е)	Асимптотически устойчива
		Неустойчивый дикритический узел (рис. е)	Неустойчива

Если система ,описывает движение точки, то интегральные кривые называют траекториями движения точки. В случае устойчивого узла и фокуса точка, двигаясь по траекториям, неограниченно приближается к началу координат при, и неограниченно удаляется от него в противном случае.

В задачах 9.263-9.272 определить характер точек покоя следующих систем дифференциальных уравнений.