9.191 .

9.192. 9.193 .

9.194 .

9.195 .

9.196 . 9.197.

9.198 .

9.199 .

9.200 .

9.201 . 9.202.

В задачах 9.203-9.212 для каждого из неоднородных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами найти их общие решения:

9.203 . 9.204.

9.205. 9.206.

9.207 . 9.208.

9.209 . 9.210.

9.211 . 9.212.

В задачах 9.213-9.218 найти частные решения уравнений, удовлетворяющих указанным начальным условиям:

9.213 ,,.

9.214 ,.

9.215 ,,.

9.216 ,,.

9.217 ,,.

9.218 ,,.

В задачах 9.219-9.228 найти общие решения неоднородных уравнений методом вариации произвольных постоянных:

9.219 . 9.220.

9.221 . 9.222.

9.223 . 9.224.

9.225 . 9.226.

9.227 . 9.228.

В задачах 9.229-9.244 найти общие решения следующих дифференциальных уравнений -ого порядка:

9.229 . 9.230.

9.231 . 9.232.

9.233 . 9.234.

9.235 . 9.236.

9.237 . 9.238.

9.239 . 9.240.

9.241 . 9.242.

9.243 . 9.244.

§3. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

Система дифференциальных уравнений вида , где- искомые функции, называетсянормальной системой дифференциальных уравнений. Число называется порядком системы. Совокупность функций ,,…,обращающих каждое уравнение системы в тождество, называетсярешением этой системы.

Условия ,,…,, где,,,…,- заданные числа, называются начальными условиями. Задача нахождения решения нормальной системы уравнений, удовлетворяющего заданным начальным условиям, называется задачей Коши.

Общим решением нормальной системы ДУ называется решение:

,,…,,

зависящее от произвольных постоянных, такое, из которого при надлежащем выборе значений постоянныхможно получить решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям,…,. Общее решение, заданное в неявном виде,называетсяобщим интегралом системы.

Частным решением системы называется решение ,,…,, получаемое из общего при конкретных значениях постоянных. Если для искомого частного решения системы заданы начальные условия,…,и известно общее решение,,…,системы, то значенияпроизвольных постоянных определяются, если это возможно, из системы уравнений.

Нормальные системы ДУ с небольшим числом уравнений решают методом исключения неизвестных функций приводя их к одному дифференциальному уравнению -го порядка или к нескольким уравнениям порядка, меньшего чем.

Для нахождения решения, например, нормальной системы двух уравнений ,, где,- неизвестные функции независимой переменнойпоступают следующим образом. Сначала дифференцируют попервое из уравнений системы и получают уравнение. Затем определяютиз первого уравнения системы и подставляют найденное выражениев уравнение. В результате получают ДУ второго порядка относительно неизвестной функции, решая которое находят, гдеи-произвольные постоянные. Подставляяв формулу, определяют функцию. Совокупность функций,даёт общее решение системы.

Однородной линейной системой уравнений с постоянными коэффициентами называется система вида или, в матрично-векторной записи, где- матрица системы,- постоянные коэффициенты,- вектор неизвестных функций.

Для построения общего решения однородной линейной системы достаточно знать линейно независимых частных решений:

.

Такая система решений называется фундаментальной.

Если известна фундаментальная система решений (ФСР), то их линейная комбинация , где- произвольные постоянные, представляет собойобщее решение однородной линейной системы дифференциальных уравнений.

Основным методом построения фундаментальной системы решений является метод Эйлера. Согласно этому методу частное решение системы ищут в виде , где-собственное число матрицы, определяемое как кореньхарактеристического уравнения ;- какой-нибудь собственный вектор этой матрицы, соответствующий числуи определяемый как ненулевое решение системы линейных алгебраических уравнений.

Каждому из собственных чисел матрицы , являющихся корнями характеристического уравнения, соответствует хотя бы одно частное решение указанного вида, при этом возможны следующие случаи:

1) Если - действительный простой корень характеристического уравнения, то ему в ФСР соответствует одно частное решение, где- какой-нибудь собственный вектор матрицы, соответствующий числу.

2) Если - пара комплексно-сопряжённых простых корней характеристического уравнения, то ей в ФСР соответствует два линейно независимых частных решения,, где- комплексный собственный вектор матрицы, соответствующий комплексному собственному числу.

3) Если - действительный корень кратностихарактеристического уравнения, то соответствующее ему решение, содержащеепроизвольных постоянныхи входящее в общее решение исходной системы, ищется в виде произведения векторного многочлена степенина:. Чтобы найти векторные коэффициенты, надо подставить данное решение в систему. Приравняв коэффициенты подобных членов в левой и правой частях уравнений системы, получим систему линейных алгебраических уравнений для определения неизвестных координат векторов, причём среди координат этих векторовкоординат являются произвольными и полагаются равными, а остальные выражаются через них.

В задачах 9.245-9.252 найти методом исключения общие решения однородных систем дифференциальных уравнений: