9.161 ,. 9.162,.

9.163 ,. 9.164,,.

9.165 . 9.166,,. 9.167,,. 9.168,,. 9.169. 9.170.

Уравнение вида называетсялинейным дифференциальным уравнением (ЛДУ) -го порядка ,где коэффициенты - непрерывные функции или постоянные. Если, то уравнение называетсяоднородным. Однородное линейным уравнение -го порядка имеет вид.

Любая система из линейно независимых частных решений,,…,однородного линейного уравнения называетсяфундаментальной системой его решений.

Общее решение однородного линейного уравнения имеет вид, где- фундаментальная система его решений;- произвольные постоянные .

Фундаментальная система решений однородного ЛДУ с постоянными коэффициентамистроится на основе характера корнейхарактеристического уравнения .

А именно: 1) если - действительный простой корень характеристического уравнения, то ему в ФСР соответствует частное решениедифференциального уравнения;2) если - действительный корень кратности, то ему в ФСР соответствуетлинейно независимых частных решений:,,,…,;3) если - пара простых комплексно-сопряжённых корней характеристического уравнения, то ей в ФСР соответствует два линейно независимых частных решения:,;4) если - пара комплексно-сопряжённых корней кратности, то ей в ФСР соответствуетлинейно независимых частных решений:,,,,,,.

В задачах 9.171-9.184 найти общие решения однородных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами:

9.171 . 9.172.

9.173 . 9.174.

9.175 . 9.176.

9.177 . 9.178 .

9.179 . 9.180.

9.181 . 9.182. 9.183. 9.184.

В задачах 9.185-9.188 найти частные решения уравнений, удовлетворяющие указанным начальным условиям:

9.185 ,,.

9.186 ,,.

9.187 ,,.

9.188 ,,.

Общее решение неоднородного ЛДУ имеет вид, где- общее решение соответствующего однородного уравнения,- какое-нибудь частное решение данного неоднородного уравнения.

Частное решение уравнения с правой частью специального видаищетсяметодом неопределённых коэффициентов в виде , где, если числоне является корнем характеристического уравнения, иравно кратности корняв противном случае;и- полные многочлены степенис неопределёнными коэффициентами. Примерами полных многочленов с неопределёнными коэффициентами степенисоответственно являются:,,,,…. Для нахождения коэффициентов многочленови, надо подставить решениев неоднородное дифференциальное уравнение и приравнять коэффициенты при подобных членах в левой и правой частях полученного равенства. В результате получим систему уравнений, решив которую, найдём значения коэффициентов.

Частное решение неоднородного ЛДУ с правой частьюравно сумме частных решенийнеоднородных уравнений с той же левой частью и правыми частями(принцип наложения решений).

Частное решение уравнения с любой правой частьюможет быть найденометодом вариации произвольных постоянных. Для дифференциального уравнения второго порядка метод состоит в следующем. Если известна фундаментальная система решений однородного уравнения , то частное решение соответствующего неоднородного уравнения ищется в виде, где неизвестные функции,определяются из системы уравнений.

В задачах 9.189-9.202 для каждого из неоднородных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами написать общие решения уравнений (числовых значений коэффициентов в частных решениях не находить):

9.189 ,если:

а); б);

в) ; г).

9.190 ,если:

а); б);

в) ; г).