9.323 . 9.324.

9.325 . 9.326.

9.327 . 9.328.

В задачах 9.329-9.330 найти частные решения уравнений в частных производных первого порядка, удовлетворяющие указанным условиям.

9.329 ;при .

9.330 ;при .

Уравнение вида

=0,

где -неизвестная функция от независимых переменных;,,,- заданные в областифункции своих аргументов, называетсяквазилинейным дифференциальным уравнением в частных производных второго порядка. Его тип определяется знаком выражения . А именно:1) если в некоторой точке, то уравнение имеетэллиптический тип в этой точке; 2) если , то уравнение имеетгиперболический тип; 3) если , то уравнение имеетпараболический тип. Данное уравнение может менять свой тип при переходе из одной точки области в другую. Например, уравнениеявляется уравнением эллиптического типа в точках плоскости,, параболического типа в точкахи гиперболического типа в точках,.

Уравнение называетсяхарактеристическим, а его общие интегралы и-характеристиками уравнения в частных производных.

Характеристики используются для приведения квазилинейного уравнения в частных производных второго порядка к каноническому виду.

Для уравнения гиперболического типа () характеристики действительны и различны. Подстановкойи, уравнение приводится к каноническому виду

.

Для уравнения эллиптического типа () характеристики комплексные и комплексно сопряжены (). Подстановкойи, уравнение приводится к каноническому виду.

Для уравнения параболического типа () имеется только одна характеристика. Подстановкойи, где- произвольная функция, независимая суравнение приводится к каноническому виду.

В задачах 9.331-9.339 определить тип дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка и привести их к каноническому виду.

9.331 .

9.332 .

9.333 .

9.334 .

9.335 .

9.336 .

9.337 .

9.338 .

9.339 .

В задачах 9.340-9.345 , используя формулу Даламбера

, найти

решение задачи Коши для волнового уравнения на прямой:

; ;

9.340 ,,.

9.341 ,,.

9.342 ,,.

9.343 ,,.

9.344 ,,.

9.345 ,,.

Задачей Штурма-Лиувилля называется задача о нахождении отличных от нуля решений (собственных функций) ,, дифференциального уравнения, удовлетворяющих граничным условиям вида,, где- заданные числа, а также о нахождении значений параметра(собственных значений), при которых существуют такие решения.

В задачах 9.346-9.348 найти собственные числа и собственные функции следующих задач Штурма-Лиувилля.

9.346 ,.

9.347 ,.

9.348 ,.

Метод Фурье является одним из наиболее распространённых аналитических методов решения уравнений математической физики и состоит в следующем. Искомая функция , зависящая от нескольких переменных, ищется в виде произведения функций, каждая из которых зависит лишь от одной переменной. Например, если, то функцияищется в виде; если, то - в виде. После подстановки этого произведения в исходное уравнение получается несколько обыкновенных дифференциальных уравнений, часть из которых вместе с краевыми условиями исходной задачи являются краевыми задачами Штурма-Лиувилля. Искомое решение представляется рядом по произведениям собственных функций этих задач Штурма-Лиувилля.

В задачах 9.349-9.352 найти решение смешанной краевой задачи для волнового уравнения на отрезке методом Фурье.