Глава 9. Дифференциальные и разностные уравнения.

§1. Обыкновенные дифференциальные уравнения

первого порядка.

Уравнение вида , где- искомая функция, называетсяобыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка. Функция , обращающая уравнение в тождество, называетсярешением уравнения, а график этой функции – интегральной кривой. Если решение уравнения задано в неявном виде , то оно обычно называетсяинтегралом уравнения. Процесс нахождения решений называется интегрированием дифференциального уравнения.

Уравнение вида , где- заданная функция переменныхи, называетсяДУ первого порядка, разрешённым относительно производной. Эту форму записи ДУ называют нормальной. Учитывая, что , ДУ первого порядка, разрешённое относительно производной, можно всегда записать вдифференциальной форме: , гдеи- заданные функции переменныхи.

Условие , где,-заданные числа, называется начальным условием. Задача нахождения решения уравнения , удовлетворяющего заданному начальному условию, называетсязадачей Коши.

Общим решением ДУ первого порядка называется решение , зависящее от одной произвольной постоянной, такое, из которого при надлежащем выборе значения постояннойможно получить решение, удовлетворяющее заданному начальному условию. Общее решение, заданное в неявном виде, называетсяобщим интегралом уравнения.

Частным решением ДУ первого порядка называется решение , получаемое из общего при конкретном значении постоянной(при этом не исключаются и значения). Частное решение, заданное в неявном виде, называетсячастным интегралом уравнения.

Решение ДУ первого порядка, в каждой точке которого нарушается единственность решения задачи Коши, называется особым. Особое решение не содержится в формуле общего решения ни при каком числовом значении произвольной постоянной, включая . Особое решение всегда можно обнаружить в процессе построения общего решения (общего интеграла) данного ДУ. Это те решения, которые могут быть утеряны при преобразованиях данного уравнения, переводящих это уравнение в его общее решение (общий интеграл).

ДУ вида называется уравнением сразделёнными переменными. Его общий интеграл имеет вид .

ДУ вида илиназывается уравнением сразделяющимися переменными. Его интегрирование, путём деления обеих частей уравнения на или, сводится (с учётом) к интегрированию уравнения сразделёнными переменными.

При выполнении деления возможна потеря решений, для которых или. Потерянные решения или содержатся в формуле общего решения при каком-то конкретном значении произвольной постоянной (при этом не исключаются и значения) или являются особыми решениями.

В задачах 9.1-9.12 найти общие решения следующих ДУ с разделяющимися переменными:

9.1. 9.2.

9.3 . 9.4.

9.5. 9.6.

9.7. 9.8 . 9.9 . 9.10 .

9.11 .

9.12 .

Дифференциальное уравнение вида () приводится к уравнению с разделяющимися переменными подстановкой, где- новая искомая функция.

В задачах 9.13-9.16 найти общие решения уравнений, приводящихся к ДУ с разделяющимися переменными:

9.13 . 9.14.

9.15 . 9.16.

Найти частное решение дифференциального уравнения первого порядка – значит: 1) найти его общее решение или общий интеграл;2) найти то частное решение (частный интеграл) которое удовлетворяет заданному начальному условию.

В задачах 9.17-9.22 найти частные решения ДУ, удовлетворяющие указанным начальным условиям:

9.17 ,.

9.18 ,.

9.19 ,.

9.20 ,.

9.21 ,.

9.22 ,.

Дифференциальное уравнение вида или, гдеи- однородные функции одинаковой степени, называетсяоднородным.

Функция , обладающая свойствомпри всех, называетсяоднородной функцией степени .

Однородное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными подстановкой ,или, где- новая неизвестная функция. Интегрируя ДУ с разделяющимися переменными относительно функциии возвращаясь к искомой функции, находим общее решение исходного уравнения. Иногда целесообразно вместо подстановки, использовать подстановку, где- новая неизвестная функция.

В задачах 9.23-9.36 найти общие решения следующих однородных дифференциальных уравнений: