Математика-2-й семестр (курс лекций)

выделенного криволинейного четырёхугольника и параллелограмма построенного на векторах

отличаются на бесконечно малую более высокого порядка малости, чем ( u)2 ( v)2. Заметим, что если r(u, v) – линейное отображение, то выделенный криволинейный четырёхугольник

Таким образом, модуль определителя матрицы Якоби (модуль якобиана) det r вектор-функции, отображающей R2 в R2 , есть

коэффициент искажения площади при этом отображении. Вектор-функция

rr(u,v, w) (x(u,v, w), y(u,v, w), z(u,v, w))T

x(u, v, w)i y(u, v, w)j z(u, v, w)k

отображает R3 в R3 . При этом параллелепипед с вершинами

(u0 , v0 , w0 ), (u0 u, v0 , w0 ), (u0 , v0 v, w0 ), (u0 , v0 , w0 w), (u0 u, v0 v, w0 ), (u0 u, v0 , w0 w), (u0 , v0 v, w0 w), (u0 u, v0 v, w0 w)

переходит в криволинейную фигуру, ограниченную линиями

r r(u, v0 , w0 ), r r(u0 , v, w0 ), r r(u0 , v0 , w), r r(u, v0 , w0 w), r r(u0 , v, w0 w), r r(u, v0 v, w0 ), r r(u0 , v0 v, w),

r r(u0 u, v, w0 ), r r(u0 u, v0 v, w), r r(u0 u, v0 , w), r r(u0 u, v, w w), r r(u, v0 v, w0 w).

141

Заменим её параллелепипедом, построенным на векторах

объёмы выделенной части пространства и построенного параллелепипеда отличаются на бесконечно малую более высокого порядка малости, чем ( u)3 ( v)3 ( w)3.

определителя матрицы Якоби (модуль якобиана) det r вектор-

функции, отображающей R3 в R3 , есть коэффициент искажения объёма при этом отображении.

Пусть s f (t) – величина пути, пройденного точкой к моменту времени t , тогда

f (t t) f (t)

t

средняя скорость движения (изменения пути) за промежуток времени t . Устремляя t к нулю, получаем в пределе, с одной стороны, производную функции f , а с другой, – мгновенную

скорость движения (изменения пути) в точке t , то есть, с точки зрения механики, производная есть скорость изменения функции в точке (скорость движения). Вторая производная пути по времени есть ускорение движения точки.

Пусть r r(t) x(t)i y(t)j z(t)k – закон движения материальной точки. Тогда x (t), y (t), z (t) есть скорость изменения координат x(t), y(t), z(t) соответственно. Поэтому

142

2.11. Геометрические приложения производной (касательная, касательная плоскость, нормаль)

Из геометрического смысла производной вектор-функции скалярного аргумента следует, что для кривой заданной в

поэтому каноническое уравнение касательной к этой кривой в

апараметрическое в виде

x x0 xt (t0 )t,

y y0 yt (t0 )t.

143

Аналогично, для пространственной кривой, заданной параметрически,

качестве направляющего вектора касательной. Следовательно, каноническое уравнение касательной к пространственной

апараметрическое уравнение имеет вид

x x0 xt (t0 )t,

y y0 yt (t0 )t,z z0 zt (t0 )t.

Если в соотношениях (2.25) t – время, то они определяют закон движения точки, при этом вектор (xt (t0 ), yt (t0 ), zt (t0 ))T является вектором скорости в момент времени t t0 .

Так как всякую кривую, заданную в явной форме уравнением y f (x) можно считать заданной параметрически

соотношениями

x t,

y f (t),

144

Назовем нормалью прямую, перпендикулярную касательной в точке касания. Из геометрического смысла коэффициентов в уравнении (2.28) делаем вывод о том, что каноническое уравнение нормали к плоской кривой F(x, y) 0 имеет вид

Для пространственной кривой плоскость, перпендикулярная касательной, называется нормальной плоскостью. Вспоминая геометрический смысл коэффициентов в уравнении (2.26), заключаем, что уравнение нормальной плоскости к пространственной кривой, заданной параметрически, может быть записано в виде

xt (t0 )( x x0 ) yt (t0 )( y y0 ) zt (t0 )( z z0 ) 0.

Пусть теперь уравнение F(x, y, z) 0 задаёт неявно функцию z(x, y) , определяющую поверхность S , и M0 (x0 , y0 , z0 ) – некоторая точка этой поверхности, т.е. F (x0 , y0 , z0 ) 0 . Плоскость, проходящую через точку M 0 , содержащую касательные ко всем кривым, проходящим через M 0 и лежащим на этой поверхности, если она существует, назовем касательной плоскостью к поверхности F(x, y, z) 0 в точке M 0 .

Если кривая L лежит на поверхности F(x, y, z) 0 и задана параметрически уравнениями (2.25), то F(x(t), y(t), z(t)) 0 .

145

последнее равенство можем переписать в виде (N, ) 0 , которое означает, что вектор N ортогонален направляющему векто-

M0 (x0 , y0 , z0 ) , т.е. он является вектором нормали к искомой

касательной плоскости.

Таким образом, уравнение касательной плоскости к поверх-

Прямая, перпендикулярная касательной плоскости к поверхности в точке M0 (x0 , y0 , z0 ) , называется нормалью к поверхно-

сти в точке M 0 . Каноническое уравнение нормали к поверхности F(x, y, z) 0 можно записать следующим образом

146

– кривые, проходящие через точку r(u0 , v0 ) , а ru (u0 , v0 ), rv (u0 , v0 )

–векторы, лежащие в касательной плоскости (если она сущест-

уравнение нормали к поверхности заданной векторно или параметрически.

Приведем несколько примеров.

Пример 1. Написать уравнение касательной и нормали к кривой y 2x2 4 в точке M (2,12) .

Имеем y 4x , y (2) 8 , тогда уравнение касательной будет

иметь вид

8 (x 2) 1 ( y 12) 0 ,

а уравнение нормали:

x 2 y 12 . 8 1

Пример 2. Написать уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности, заданной уравнением

x22 y42 16z2 1,

в точке M (1,1,2) .

Так как

147

то уравнение касательной плоскости запишется в виде

1 (x 1) 0,5 ( y 1) 0,25 (z 2) 0,

а уравнение нормали –

x 1 y 1 z 2 . 1 0,5 0,25

После несложных преобразований окончательно получаем уравнение касательной плоскости

4x 2y z 8 0.

2.12. Дифференциал функции. Инвариантность формы первого дифференциала.

Применение дифференциала к приближенным вычислениям.

Рассмотрим дифференциал f (x) x функции f более подробно. Обычно дифференциал функции f в точке x обозначают df (x) . Чтобы подчеркнуть зависимость дифференциала отx , будем там, где это необходимо, писать df (x, x) . По определению дифференциала

df (x) f (x) x, x Rn ,

т.е. дифференциал является результатом действия линейного оператора с матрицей f (x) на вектор x . Дифференциал мож-

но определить как линейную относительно x составляющую приращения функции, вызванного приращением аргумента x . При этом будем считать, что приращение x не зависит от x , т.е. в рассматриваемом процессе x является константой относительно x .

Рассмотрим тождественное отображение (x) Ex x , где E – единичная матрица размера n n ( :Rn Rn ). В силу

148

то

149

Если же записать представление производной матрицы через столбцы, то выражение для дифференциала в случае векторфункции многих переменных формально совпадает с выражением для дифференциала скалярной функции многих переменных

df (x) D1 f (x), D2 f (x),..., Dn f (x) dx1, dx2 ,..., dxn T

n

Di f (x) dxi .

i1

Приведем несколько примеров.

Отметим некоторые свойства дифференциалов, которые похожи на соответствующие свойства производных:

1.d f1 (x) f2 (x) df1 (x) df2 (x) ;

2.d f (x) df (x) ;

3.d f1 (x) f2 (x) df1 (x) f2 (x) f1 (x) df2 (x)

Доказательство приведено в п. 2.3 при получении аналогичных свойств производных.

4. df (x) 1 d f (x) 1 d f (x) .

Следует из свойства 2 и факта, что дифференциал константы равен нулю.

150