Приборы и устройства оптического и СВЧ диапазонов

161

Даже из таких простых оценок можно сделать следующий вывод: в оптическом диапазоне число частиц на уровнях, с ростом энергии уровня, очень резко падает, поэтому почти все частицы находятся на основном энергетическом уровне. В СВЧ диапазоне частицы по уровням распределены более равномерно.

Представьте себе, что квантовая система атомов находится в электромагнитном поле с частотой ω и что ω соответствует частоте перехода между первым и вторым энергетическими уровнями (уровни не вырожденны и

E2 − E1 = Hω ). Тогда, как известно, между полем и системой атомов будет происходить эффективное взаимодействие. Поле будет индуцировать переход атомов, находящихся в состоянии с энергией E1 в состояние с энергией E2. При этом переходе атом отбирает у поля квант энергии ħω, в результате происходит поглощение электромагнитной энергии веществом. Мощность, теряемую полем, можно подсчитать, зная вероятность индуцированного перехода в единицу времени. Допустим, что вероятность индуцированного перехода атома из состояния E1 в состояние E2 в единицу времени равно W12. Число переходов совершенных в единицу времени будет N1W12. Общая мощность поглощения поля веществом составит

Pпогл = N1W12Hω .

Одновременно с этим, электромагнитное поле будет взаимодействовать с атомами, находящимися в состоянии E2 и индуцировать их в состояние E1 (рис.5.0), при каждом переходе 2 → 1 атом излучает квант энергии ħω. Главная особенность этого процесса в том, что излученное атомом поле является точной копией поля, индуцировавшего переход. Оно тождественно с ним по частоте, фазе, поляризации и направлению распространения. Благодаря этому исходное поле усиливается. Рассмотренный процесс излучения электромагнитных волн носит название индуцированного или вынужденного излучения и является основой работы квантовых устройств. Излучение может быть и самопроизвольным или спонтанным, при котором атом сам по себе совершает переход 2 → 1. При этом излучаемое поле не согласованно с исходным, ни по фазе, ни по направлению, ни по поляризации и представляет лишь некоторый шум. Усиления поля при спонтанном переходе не происходит.

Мощность, излучаемая атомами при индуцированных переходах сверху вниз (2 → 1) равна

Pизл = HωW21 N2 .

Суммарная мощность, поглощенная атомами очевидно равна

В условиях термодинамического равновесия N1 > N2 и, следовательно, P>0, что обозначает поглощение электромагнитных волн. Если же создать такое со-

то в этом случае P < 0. Это обозначало бы усиление электромагнитных волн. В создании ситуации, соответствующей неравенству (5.5) и состоит основная идея получения квантового усиления. Оказывается, что существует достаточно много

162

способов достижения такого состояния вещества, при котором энергетически более высоколежащие уровни имеют большую населенность, чем нижележащие. Если это случается, то говорят, что в среде имеет место инверсия населенностей энергетических уровней. Среду, в которой осуществлена инверсия населенностей будем называть активной средой. Ниже мы рассмотрим некоторые способы создания инверсии населенности, реализуемые в различных приборах.

5.2.Типы квантовых переходов. Коэффициенты Эйнштейна

Квантовым переходом называют переход системы из одного квантового состояния в другое. В квантовых системах, обладающих дискретными уровнями энергии, существуют три типа переходов между энергетическими состояниями:

1)спонтанные переходы;

2)переходы, индуцированные электромагнитным полем;

3)безызлучательные, релаксационные переходы.

5.2.1.Спонтанные переходы и их вероятность

Спонтанные переходы – это самопроизвольные квантовые переходы частицы из верхнего энергетического состояния в нижнее, с меньшим значением энергии.

При спонтанных переходах излучается энергия в виде квантов. Квант энергии равен:

H ×ωi, j = Ei - E j ,

где i , j – номера энергетических уровней.

Основной задачей теории квантовых переходов является вычисление вероятности перехода под воздействием внешних полей или в силу внутренних причин.

Обозначим вероятность спонтанного перехода в единицу времени - Ai, j . Спонтанный переход возможен только сверху вниз, то есть:

Ai, j ¹ 0 , если i >j

Ai, j = 0 , если i < j

Спонтанное излучение носит случайный характер. Различные частицы излучают несинхронно и независимо. Поэтому спонтанное излучение ненаправлено, некогерентно, неполяризовано и немонохроматично. Излучение обычных источников света есть результат спонтанных переходов. Поскольку спонтанное излучение некогерентно по отношению к внешнему полю оно играет роль собственных шумов в системе и служит затравочным толчком в процессе усиления и возбуждения колебаний.

Определим вероятность спонтанного перехода Ai, j . Рассмотрим классиче-

скую модель атома водорода (квантовомеханическое описание электромагнитного излучения является более полным, но во многих практически важных случаях проще и удобнее пользоваться классическим описанием, которое является частным случаем квантовомеханического). Положительно заряженное ядро и отрицательно заряженный электрон образуют электрический диполь. Момент электри-

163

ческого диполя численно равен: p = e × r и направлен от отрицательного полюса к положительному (рис.5.1).

Рис. 5.1. Представление атома в виде двух осцилляторов

где e – заряд электрона, r -радиус-вектор, соединяющий ядро с электроном. Если дипольный момент р гармонически изменяется с частотой ω , то такой

диполь называют осциллятором. Как видно (рис.5.1) движение электрона по эллиптической орбите можно заменить гармоническими колебаниями двух диполей. Дипольные моменты таких излучателей равны:

p x (t ) = - er x cos щt ; py (t ) = -ery sin щt .

Естественно, можно ограничиться рассмотрением свойств одного из осцилляторов.

Из курса электродинамики известно, что любой диполь излучает, то есть теряет свою энергию. Потеря энергии связана с переходом частицы с одного уровня на другой.

Мощность, излучаемую таким диполем, можно рассчитать, используя следующую формулу:

нитная и электрическая постоянные вакуума.

Выразим квадрат тока через дипольный момент. Считая ,что диполь эквивалентен проводнику с током длиной l, проекция дипольного момента на ось х равна

px = q ×l .

С учетом этого, выражение для мощности, излучаемой диполем в направлении оси x принимает вид:

несколько уровней j1, j2, j3 (рис. 5.2), то полное время жизни частиц определяется следующим образом: τ ij = 1 ∑ Aij

j

Рис. 5.2. Многоуровневая квантовая система

Если переход с i-го уровня на все нижележащие запрещен (см. рис. 5.2), то время жизни частиц на уровне i оказывается большим. Такой уровень называется метастабильным и играет существенную роль при построении квантовых уст-

5.2.2.Индуцированные переходы и их вероятность

Как было определенно ранее, индуцированные переходы между уровнями возникают при воздействии на систему высокочастотных внешних полей. Воздействующее электромагнитное поле может быть как монохроматическим, так и немонохроматическим. Рассмотрим кратко эти случаи:

а) Случай немонохроматических полей. Пусть дан атом с двумя уровнями энергии так, что E j > Ei (рис. 5.3).

Рис. 5.3. Возбуждение двухуровневой квантовой системы немонохроматическим полем

166

Поместим двухуровневую квантовую систему во внешнее поле. Будем считать поле немонохроматическимто есть имеющим набор частот. Возможны переходы как с j на i уровень, так и с i на j уровень. Вероятность перехода может

зависеть от величины поля на частоте перехода ω = ω ji . Величину поля на неко-

торой частоте характеризует спектральная плотность энергии поля ρ (ω ) .

По определению, вероятность индуцированных переходов должна быть пропорциональна ρ (ω ) , вычисленной на частоте перехода:

ω ji = E j - Ei .

H

Обозначим коэффициент пропорциональности между вероятностью индуцированного перехода Wij и спектральной плотностью энергии поля ρ (ω ) через Bij , тогда:

Величина Wij характеризует, (согласно рис. 5.3), процесс индуцированного поглощения, тогда как Wji - процесс индуцированного излучения. Для определения Wij в явном виде необходимо найти ρ (ω ) и

Подсчитаем ρ (ω ) на частоте ω = ω ji .

Предположим, что наше поле заключено в некотором объеме V. В качестве объема примем куб размером а×а×а (рис.5.4).

Рис. 5.4.Кубический резонатор

Такой куб представляет из себя резонатор с бесчисленным множеством собственных колебаний. Каждое из собственных колебаний характеризуется резонансной частотой ωmnp. Где числа m,n,p определяют число полуволн, укладывающихся на ребрах резонатора в направлении x,y,z соответственно. Из всего множества колебаний выберем один S-ый тип колебаний (m,n,p=s). Тогда:

мость ω S от чисел m,n,p. Для этого выберем систему координат m,n,p.

Рис. 5.5. К иллюстрации плотности генерируемых мод в резонаторе

В этой системе координат каждому типу колебаний, то есть тройке чисел m,n,p отвечает точка. Далее, все пространство m,n,p можно разбить на кубики (один из них показан на рис. 5.5), в каждом из которых содержится одна точка m,n,p. Длина ребра кубика равна 1 и, следовательно, объем кубика V равен 1. Иначе, в пространстве m,n,p объем, приходящийся на один тип колебаний равен 1.

Тогда, в любой фигуре объема V, число типов колебаний N (ω ) будет численно равно V.

Из выражения (5.12) видно, что когда ω S изменяется от нуля до некоторого

Это выражение представляет собой уравнение сферы с радиусом, равным:

Учитывая, что каждой определенной частоте отвечают два вида колебаний, отличающихся лишь поляризацией, полученное число нужно удвоить, получим:

169

Для определения числа собственных колебаний, лежащих между ω и ω +dω , необходимо продифференцировать это выражение по частоте.

Дифференцируя (5.18) получим:

dN (ω ) = a 3 ×ω 2 × dω .

c 3 ×π 2

Число типов колебаний в единичном интервале частот будет:

Это уравнение носит название соотношения Эйнштейна между коэффициентами A ji и Bij . Подставляя в место A ji его выражение, полученное выше, найдем:

Таким образом, коэффициент Эйнштейна Bji определяется только квадратом

дипольного момента. Когда спонтанный переход запрещен, то запрещен и индуцированный, так как определяется одной и той же величиной.

Итак, используя полученные выражения для Bji , ρ (ω ) , можно из формулы

(5.11) найти вероятность индуцированных переходов в явном виде.

В заключении следует отметить, что при определении вероятности индуцированных переходов в случае действия немонохроматических полей необходимо учитывать вероятность попадания энергии воздействующего поля F(ω) в единичный частотный интервал (вблизи частоты перехода ωji). Тогда выражение (5.11) с учётом рассмотренного выше примет вид:

где ρ = Hωij m - плотность энергии полного поля, воздействующего на кван-

V

товую систему; F(ω) = ρ (ω ) dщ – вероятность того, что энергия поля оказывается в

ρ

спектральном интервале d ω вблизи частоты ω ji ; m - полное число фотонов в

резонаторе.

При рассмотрении энергетических состояний квантовых систем в случае а) нас не интересовал вопрос о ширине дискретных энергетических уровней ато-

мов или молекул, и эти уровни принимались бесконечно узкими. Излучательным переходам между такими изолированными уровнями энергии соответствовала бы бесконечно узкая спектральная линия излучения (или поглощения) на строго фиксированной частоте, т.е. идеальная монохроматическая волна. В действительности подобная ситуация не возможна хотя бы по той причине, что время жизни τ в возбужденном состоянии конечно, а в силу соотношения неопределенностей δEτ ≈ H это приводит к неопределенности в энергии состояния, т.е. к «размытию» энергетического уровня на величину порядка δE . Для изолированных атомов и

170

молекул это уширение очень мало (δE <<E), но принципиально энергетические уровни имеют конечную ширину. Более подробно на вопросах уширения спектральных линий мы остановимся ниже.

б) Случай монохроматических полей. Рассмотрим случай, когда внешнее поле имеет строго определенную частоту ω = ωij, а атом или любая другая частица обладает энергетическим спектром определенной ширины (рис.5.6).

Рис. 5.6. Энергетический спектр квантовой системы при воздействии монохроматическим полем

При этом необходимо учитывать вероятность попадания атома в единичный частотный интервал (1Гц), тогда как попадание поля в этот интервал событие достоверное (вероятность его равна единице) (рис.5.7).

Рис. 5.7. К иллюстрации попадания атома в единичный спектральный интервал

С учетом сказанного, в выражении (5.19) необходимо заменить F(ω ) на вероятность того, что атом окажется в единичном спектральном интервале. Эту веро-

2

щаяся на единицу объема ( в системе Си). g(ω) - имеет различную форму в зависимости от ситуации.

Наибольшее количество частиц будет в середине участка, где ω = ωij. По мере того, как удаляемся от частоты ωji , вероятность g(ω) уменьшается, то есть график должен иметь вид

(рис.5.8):