211
Прежде чем перейти к рассмотрению отдельных типов лазеров и их характеристик, выделим резонаторы в отдельный раздел.
8.4. Оптические резонаторы
Особенности оптических резонаторов. Как и в диапазоне СВЧ, в оптиче-
ском диапазоне наиболее эффективное взаимодействие электромагнитного поля с веществом осуществляется при помещении его внутрь резонансной системы.
Однако между резонаторами СВЧ и оптическими существует много принципиальных различий. Так как добротность любого резонатора пропорциональна размерам и корню квадратному из длины волны, то на оптических частотах в принципе нельзя создать резонансные системы, у которых размеры сравнимы с длиной волны. Кроме того, такую систему трудно изготовить, да и количества активного вещества в ней будет недостаточно для усиления или генерации.
Следовательно, оптический резонатор должен иметь размеры много больше длины волны излучения, то есть в резонаторе возможно существование многих типов колебаний (мод). Пусть, резонатор представляет собой куб с ребром L и объемом V = L3 с идеально отражающими стенками. Если эта полость заполнена электромагнитным излучением, то в ней может существовать бесконечно большое число стоячих электромагнитных волн, характеризуемых волновыми векторами k с проекциями
k x |
= |
2πl |
, k y |
= |
2πm |
, |
k z |
= |
2πn |
, |
|
|
|
|
|
L |
|
L |
|
|
L |
где l, m, n – целые числа, указывающие число полуволн, укладывающихся вдоль
соответствующей оси резонатора.
В пространстве этих волновых векторов на каждый тип колебаний приходится объем
dkx dk y dkz |
|
2π 3 |
|
= |
|
. |
dldmdn |
|
|
L |
Общее число типов колебаний Nk , приходящихся на объем, в котором вектор k может изменяться от 0 до k0 , равно общему объему сферы радиусом R , делимому на объем, приходящийся на один тип колебаний
|
( |
4π |
)k 3 |
|
|
3 3 |
|
8πν |
3 |
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
= 2 |
|
|
3 |
|
|
|
= |
L |
= |
3 |
|
N k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L . |
(8.1) |
|
2π |
3 |
3π |
2 |
3c |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь множитель 2 говорит о том, что каждому значению k соответствует два возможных значения поляризации. Nk – число типов колебаний, приходящихся на
интервал частот ∆ν. Плотность типов колебаний на единичный интервал частот и на единицу объема V = L3
N (ω ) = |
1 |
|
dNk |
= |
8πν 2 |
. |
(8.2) |
|
|
|
V dν |
|
c3 |
|
Число колебаний в объеме V и в интервале частот ∆ν
|
|
|
|
8πν 2 |
|
|
|
212 |
|
|
|
|
|
|
|
|
N = |
|
V ν . |
|
|
|
|
|
(8.3) |
|
|
|
c3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Видно, что с ростом ν в заданном частотном интервале ∆ν, расстояние между |
модами уменьшается. При |
V = 1см |
2 |
, |
λ |
=1мкм, |
ν = см−1 |
= |
|
ГГц |
, |
|
|
|
|
|
1 |
|
30 |
|
N = 109 , |
ν |
= 30Гц . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если еще учесть, что с ростом ν падает добротность резонатора для каждой моды, то ясно, что резонансные кривые мод начнут перекрываться и резонатор потеряет свои свойства. Проведенный анализ убедительно показывает, что в оптическом диапазоне в качестве резонансных систем нельзя использовать замкнутые полости с отражающими стенками, подобные СВЧ резонаторам. Для успешного применения резонансных систем в оптическом диапазоне необходимо найти пути разрежения их спектра [4,15].
Открытые резонаторы и их элементарная теория. В настоящее время наибольшее распространение в качестве резонансных систем в оптическом диапазоне получили открытые резонаторы, впервые предложенные нашим ученым А.М. Прохоровым и американским ученым Диком. Открытый резонатор представляет собой два зеркала, размещенных на некотором расстоянии L друг от дру-
га (см. рис. 8.2.).
Рис. 8.2. Открытый резонатор Фабри - Перо
Между зеркалами (З1 и З2) помещается активное вещество. Зеркала могут быть либо плоскими, и в этом случае резонатор носит название Фабри - Перо, либо сферическими.
Разрежение спектра в таком резонаторе возможно потому, что типы колебаний с большими значениями kx и k y будут представлять собой суперпозицию
волн, распространяющихся под значительными углами θ к оси резонатора. Такие типы колебаний будут затухать значительно сильнее тех, для которых θ близко к нулю, так как для них возрастают потери на излучение через боковую поверхность резонатора, если зеркала имеют конечные размеры. Поэтому в данном резонаторе будет существовать бесконечный набор типов колебаний со всеми возможными значениями kx и k y .
Хотя строгий расчет характеристик таких резонаторов проводится с помощью теории электромагнитного поля, представление о некоторых основных характеристиках открытых резонаторов можно получить, применяя законы геометрической оптики. Рассмотрим для примера элементарную теорию резонатора Фабри - Перо.
213
В приближении геометрической оптики зеркала будем считать безграничными в поперечных размерах, а распространяющиеся в них волны – плоскими. Тогда, каждое собственное колебание резонатора будет образовываться в результате сложения плоских волн, движущихся в противоположных направлениях между отражающими зеркалами. Сложения волн, распространяющихся вдоль оси z резонатора, с учетом граничных условий на зеркалах приводит к стоячим волнам, которые обычно называют продольными модами резонатора. Резонансные частоты продольных мод определяются граничными условиями на зеркалах и тем условием, что за время возвращения луча в точку А (рис.8.2), после двукратного отражения от зеркал резонатора, фаза поля может измениться на число, кратное 2π
где q=1,2,3…
Из (8.4) можно найти выражение для резонансных частот резонатора ωq и расстояние между ними ω , учитывая, что время двойного прохода луча в резо-
наторе t2пр |
= |
2L |
( с – |
скорость света) ω q |
= q π c , Dω = ωq |
-ωq−1 |
= π |
c |
. Видно, что ин- |
|
|
|
|
c |
|
L |
|
|
L |
декс q характеризует число полуволн, укладывающихся вдоль оси резонатора. Так как длина резонатора имеет обычно порядок 5 ÷100 см, а ω в оптическом диапазоне имеет порядок 1015 рад/с., то число q будет очень большим (105 -106 ).
Кроме продольных типов колебаний, существуют также поперечные колебания, образованные плоскими волнами, распространяющимися под некоторым углом θ к оси резонатора.
|
Собственные частоты этих колебаний определяются формулой: ωq |
= |
q ×π ×c |
|
L ×cosθ |
|
|
|
причем, θ может принимать любые непрерывные значения. Видно, что колебания в данном случае будут сильно вырождены, то есть одной и той же частоте колебаний будет соответствовать множество типов колебаний, различающимся между собой углом θ [13].
Добротность резонаторов. Одной из основных характеристик резонатора является его добротность. Здесь, как и в обычных резонаторах, потери энергии в резонаторе делятся на потери за счет связи с нагрузкой и потери, обусловленные неидеальностью резонатора.
Для вывода световой энергии из резонатора одно или оба зеркала делаются частично пропускающими. Если коэффициент отражения зеркал обозначить через r, то уменьшение энергии в резонаторе за один проход будет равно:
dW = -W ×(1- r ) , а за время dt
dW = -W × (1 - r )× |
c |
|
× dt , |
(8.5) |
n × |
|
где n – положительное целое число. |
|
L |
|
|
|
|
|
|
Поскольку затухание энергии в резонаторе определяется через добротность |
|
|
-ω ×t |
(8.6) |
W = W ×e Q |
, |
|
|
0 |
|
|
|
|
то |
ω × dt . |
|
|
(8.7) |
dW = -W × |
|
|
Q
Сравнивая (8.5) и (8.7), получим
|
L × n ×ω 2 ×π × L × n |
214 |
|
(8.8) |
|
Q = c ×(1- r ) = λ ×(1- r ) . |
Например, для r = 0,5, λ = 1 мкм, L = 100 см, Q = 107.
Среди внутренних потерь в резонаторе отметим: дифракционные явления, обусловленные конечными размерами отражателей, непараллельность зеркал, их шероховатость и т.д.
Оценим сначала влияние дифракции. Луч света, выходящий из резонатора, будет отклоняться за счет дифракции на угол αd ~ λ/D. Вероятность того, что луч света выйдет из резонатора, огибая зеркало, будет равна отношению линейного
отклонения к поперечному размеру зеркала |
λ × L |
. |
|
|
|
|
|
|
2 × D2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Эту величину следует сравнить с коэффициентом пропускания зеркала |
|
(1-r), тогда выражение для добротности примет вид: |
|
|
|
|
|
|
Q = |
|
L × n ×ω |
|
= |
|
2 ×π × L |
|
. |
(8.9) |
|
|
|
c ×π × L |
|
|
|
λ × L |
|
|
c × 1 |
- r + |
|
|
|
|
λ × 1 |
- r + |
|
|
|
|
n ×ω × D2 |
2 × D2 |
|
|
|
λ × L |
|
|
|
|
|
При λ = 1мк, D = 1см, L = 100см, |
|
= 0.5 ×10−2 , |
то есть в большинстве реаль- |
2 × D2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ных случаев дифракционные потери вносят в добротность ничтожный вклад и ими можно пренебречь.
Оценим теперь влияние на добротность непараллельности зеркал (рис. 8.3.)
Рис. 8.3. Резонатор Фабри – Перо с квадратными зеркалами
|
а 2β. Число отражений за время t есть |
с × t |
. Поэтому, время t, за кото- |
|
L × n |
|
|
|
рое луч переместиться на Пусть правое зеркало повернуто на угол β. При отражении от непарарельных зеркал квант отклонится на угол равный 2β. При каждом отражении угол отклонения увеличивается нрасстояние D, то есть уйдёт из резо-
|
|
|
|
|
|
|
c ×t1 |
|
2 |
c2 ×t12 |
|
|
натора, определится из условия: |
D = β × L × |
|
|
|
|
= β × |
|
|
и будет равно |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 × L × n |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 × L × n |
|
|
|
t1 = |
2 × D × L × n2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
β × c 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ω × n × |
2 × L |
× D |
|
|
|
|
|
|
|
|
Q = ω ×t1 |
|
. |
|
(8.10) |
|
|
|
β |
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
Сравнивая (8.10) и (8.8), можно получить условие, определяющее точность, с которой необходимо выдерживать параллельность зеркал
= 1 q ×
U (x, y),
γ
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
215 |
|
|
L × n ×ω |
ω × n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 × L × D |
(8.11) |
|
|
< |
|
|
× |
|
|
|
|
, |
|
c ×(1- r ) |
c |
|
|
β |
|
Откуда |
|
β < |
2 × D ×(1 |
- r )2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
Для реальных резонаторов лазера допустимый перекос составляет единицы и десятки угловых секунд.
Волновая теория открытых резонаторов. Строгое исследование электро-
магнитного поля в открытом резонаторе основывается на решении уравнений Максвелла с определенными граничными условиями. Однако для большинства практических случаев все размеры резонатора: расстояние между зеркалами, радиус кривизны, апертура – много больше длины волны излучения и поле очень близко к поперечному электромагнитному полю. Тогда для описания резонатора можно воспользоваться принципом Гюйгенса.
Метод заключается в том, что берется какое-то произвольное распределение поля на поверхности одного зеркала, а затем, используя принцип Гюйгенса, вычисляется распределение поля на поверхности другого зеркала. Полученное распределение принимают за исходное и вычисление повторяется. Оказалось, что после определенного числа отражений, распределение амплитуд и фаз поля на поверхности зеркал больше не изменяется, становится стационарным. Такое распределение соответствует нормальным типам колебаний резонатора. Предположим, что у одного из зеркал резонатора возбуждена начальная волна с распределением Up и что она может распространяться в резонаторе в прямом направлении и обратно, попеременно отражаясь от его зеркал. После q проходов поле у одного зеркала Uq, связанное с полем, отраженным у другого зеркала, можно записать согласно принципу Гюйгенса:
|
U q+1 = |
j × k |
× |
∫ |
U q × |
e−ikz |
× (1 + cosθ )ds , |
(8.12) |
|
|
r |
|
|
4π |
|
|
|
где k – постоянная распространения в среде, |
|
|
r – |
расстояние от произвольной точки первого зеркала до произвольной точки |
θ – |
второго зеркала, |
|
|
|
|
|
угол, который r образует с нормалью к плоскости зеркал (осью резонато- |
ра), |
поверхность зеркала. |
|
|
|
|
|
ѕ – |
|
|
|
|
|
Далее предполагается, что после многочисленных проходов распределение поля у зеркал будет подвергаться незначительным изменениям от отражения к отражению и со временем поля около зеркал становятся одинаковыми с точностью до постоянной величины.
U q (8.13)
где U (x, y) - функция, описывающая распределение поля по поверхности
зеркал, не меняющаяся от отражения к отражению, γ– комплексная постоянная, независящая от координат. Подставляя (8.13) в (8.12), получаем интегральное уравнение
υ = γ × ∫ k (r,θ )×υ ×ds , |
(8.14) |
s |
|
с ядром интегрального уравнения
216
k (r,θ ) = L×π× K× ×(1+ cosθ )×e-i×k×r . 4 r
(8.15)
Функцию распределения U (x, y) , которая удовлетворяет уравнению (8.14),
можно рассматривать как нормальный тип колебаний интерферометра. Действительная часть определяет потери за один проход, а мнимая – фазовый сдвиг за один проход, добавляемого к геометрическому фазовому сдвигу.
Таким образом, в резонаторе, в зависимости от условий, могут устанавливаться отдельные типы колебаний, причем для каждого типа колебаний характерны своё распределение поля на поверхности зеркал, свои потери и фазовый сдвиг за один проход. Условие резонанса в этом случае можно записать
2 ×π × L |
+ ϕ = π × q, |
(8.16) |
|
λ |
|
где ϕ– фазовый сдвиг, соответствующий определенному типу колебаний. Из (8.16) видно, что в резонаторе каждому типу колебаний соответствует в общим
|
случае и своя частота |
|
q ×π ×c |
|
c ×ϕ |
|
|
|
ωq |
= |
- |
. |
(8.17) |
|
L |
|
|
|
|
|
L |
|
Из (8.17) видно, что при постоянных q и L частота зависит от фазового сдвига и будет различной для различных типов колебаний. Разность частот колебаний одного и того же типа, но отличающихся по индексу q на единицу, равна
Dω = ωq+1 -ωq |
= π ×c , |
(8.18) |
|
L |
|
и совпадает с разностью частот продольных мод резонаторов Фабри - Перо. Сокращенно нормальные типы колебаний называют модами и обозначают
как ТЕМmnq, где m и n – целые числа равные 0,1,2… , обозначающие число изменений знака поля на поверхности зеркал в двух ортогональных направлениях, а q продольным или аксиальным индексом. В соответствии с этим моды, характеризующиеся одними и теми же индексами m и n, но разными q, объединяются под общим названием поперечной моды. Если нужно выделить колебание с определенным индексом q, то говорят о продольной моде.
Рассмотрим некоторые конкретные примеры мод резонаторов (рис.. 8.4.).
Рис. 8.4. Структура поля для некоторых мод низшего порядка
217
Для резонаторов с прямоугольными зеркалами индекс m означает число изменений направления поля вдоль большей стороны (оси х), а n – вдоль меньшей стороны (оси y). Для круглых зеркал буква n означает число изменений поля по окружности, а m – вдоль радиуса. Из рис. 8.4., например, видно, что для плоских зеркал поле моды ТЕМ10 два пятна, симметрично расположенных относительно оси х, поле моды ТЕМ11 – четыре пятна и т.д.
Чем больше индексы m и n, тем более высоким считается тип колебаний, тем сложнее распределение поля на зеркалах. Обычно число q=105-106 много больше чисел m и n, которые обычно характеризуются числами от 1 до 10. Поэтому разность частот между различными поперечными модами, относящимися к одному и тому же индексу q (порядка нескольких десятков и сотен кГц), много меньше расстояния между продольными модами (сотни МГц).
Рассмотрим теперь резонатор, в котором помещено вещество, способное усиливать электромагнитное излучение. Поскольку активное вещество обладает определенной спектральной характеристикой, то оно будет усиливать лишь те спектральные составляющие пассивного резонатора, которые попадают в пределы спектральной линии вещества. На рис. 8.5. изображены спектральная характеристика вещества и моды пассивного резонатора. Из рисунка следует, что генерировать будут лишь те моды, для которых усиление больше потерь. Если учесть, что центральная частота линии ν0 обычно составляет 1014 ÷ 10 15Гц, а разность частоты соседних продольных мод 100-1000 МГц, то становится понятным большое значение индекса q для генерирующих мод лазера. Зная полуширину линий и длину резонатора, можно оценить число генерирующих продольных мод как:
Рис.8.5. Спектральная характеристика вещества и моды пассивного резонатора
Так, например, для гелий-неонового лазера с Dν 0 = 800МГц , L=1м , j=6
Из рис. 8.5. следует и другой важный вывод. Поскольку каждому поперечному типу колебаний соответствуют определенные потери тем большие, чем больше
218
m и n, различные для разных типов, то видно, что условия возбуждения различных мод неодинаковы. В первую очередь должны возбуждаться моды с наименьшими потерями. Поскольку наименьшими потерями обладает мода ТЕМ00, то
сувеличением накачки первой будет выходит в генерацию она. По мере возрастания мощности накачки будут возбуждаться и другие моды [4,13,14].
Классификация оптических резонаторов.[11]. Кроме открытого резонатора
сплоскими зеркалами в оптических квантовых генераторах используются системы других конфигураций. Широкое распространение получили оптические резонаторы, образованные двумя сферическими зеркалами или одним сферическим и одним плоским зеркалами. Различные типы резонаторов со сферическими зеркалами представлены на рис. 8.6, а— г. Для специальных целей применяются более сложные системы, например составные и кольцевые резонаторы.
Расчет поля и определение собственных колебаний в резонаторе произвольной конфигурации могут быть выполнены аналогично тому, как в резонаторе с плоскими зеркалами. Рассмотрим кратко свойства различных типов оптических резонаторов.
1.Конфокальный резонатор. Конфокальным называют открытый резонатор, образованный одинаковыми сферическими зеркалами, оси и фокусы которых совпадают (рис.8.6а). Так как фокус сферического зеркала радиусом R расположен на расстоянии R/2, то это означает, что радиусы кривизны зеркал равны длине резонатора. Конфокальный резонатор имеет следующие особенности:
а) Распределение фазы по поверхности зеркал однородно, т. е. отражающие поверхности являются поверхностями равных фаз.
б) По сравнению с плоским резонатором поле в конфокальном резонаторе более плотно сконцентрировано у его оси и спадает на краях значительно быстрее. Это приводит к тому, что дифракционные потери в конфокальном резонаторе значительно меньше, чем для аналогичных типов колебаний в плоском резонаторе. Распределение поля для разных N приведено на рис.8.7.
Рис. 8.6. Схемы различных типов резонаторов со сферическими зеркалами: а – конфокальный (R1=R2=L); б – полуконфокальный (R1=2L,
R2=∞); в – концентрический (R1=R2=L/2); г – полуконцентрический
(R1=L, R2=∞)
в) В распределении поля не наблюдается характерных для плоского резонатора перегибов (рис. 8.7). Основное ТЕМоо-колебание имеет гауссово распределение как в направлении х, так и в направлении у. Радиус светового пятна r1/е соответствующий уменьшению поля в ТЕМоо-моде в е раз,
r1/ e |
= |
λL / π . |
. |
(8.19) |
|
|
|
Пучок, распределение поля в поперечном направлении которого характеризуется функцией Гаусса, называется гауссовым пучком.
|
|
|
|
219 |
|
г) Собственные частоты определя- |
|
ются по формуле |
ν mng |
= |
ω mng |
= |
c |
(2g + 1 + m + n). |
|
2π |
4L |
|
|
|
|
(8.20) |
Рис. 8.7. Распределение относительной амплитуды Е/Emax для ТЕМ00 и ТЕМ10-колебаний в конфокальном резонаторе
Рис.8.8. Радиус светового пятна синфазные поверхности распределение интенсивности в конфокальном резонаторе
Отсюда видно, что спектр собственных частот в конфокальном резонаторе сильно вырожден.
д) Поле внутри резонатора в наибольшей степени сконцентрировано вблизи общего фокуса зеркал, т. е. в центре резонатора. Поверхности равных фаз представляют собой сферические поверхности. Радиус кривизны синфазной поверхности, пересекающей оптическую ось резонатора в точке z (начало отсчета z=0 совпадает с общим фокусом зеркал), определяется соотношением
R(z) = z(1 + L2 / 4z 2 ). |
(8.21) |
След этих поверхностей изображен на рис. 8.8. пунктирными линиями. С приближением к центру резонатора радиусы кривизны синфазных поверхностей увеличиваются. При z=0 R→∞,, т. е. синфазная поверхность является плоской.
е) Распределение поля внутри резонатора в поперечном направлении для ТЕМ00-моды приближенно описывается функцией Гаусса, причем радиус светового пятна r1/e, изменяется с координатой z по закону
|
λL |
|
|
|
|
|
|
|
r = ( |
)1/ 2 |
1 + ( |
2z |
) |
2 . |
(8.22) |
|
|
1/ e |
2π |
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Эта зависимость представлена на рис. 8.8. сплошной линией. Радиус пятна минимален в центре резонатора. Он в 
2 раз меньше, чем на поверхности зеркал.
Перечисленные особенности распределения поля в конфокальном резонаторе имеют как преимущества, так и недостатки. То, что благодаря фокусирующему
220
действию зеркал поле стремится сконцентрироваться вдоль оси резонатора что, обусловливает минимальные дифракционные потери. конфокальный резонатор менее чувствителен к разъюстировке зеркал. Однако, это иногда мешает полностью использовать объем активного вещества в резонаторе.
2. Резонаторы с произвольными сферическими зеркалами. Это резонаторы,
состоящие из двух соосных сферических зеркал радиусами R1 и R2, расположенных на расстоянии L друг от друга. Свойства таких резонаторов легко определить, если найдена соответствующая конфокальная система, в которой две синфазные поверхности совпадают с поверхностями зеркал резонатора. Если известны радиусы R1 и R2 зеркал и расстояние между ними, то из выражения (8.21) можно найти длину, а также радиусы кривизны и координаты зеркал эквивалентного конфокального резонатора. Если известно Lэк, то распределение поля внутри и вне резонатора будет таким же, как в эквивалентном конфокальном резонаторе. В частности, радиус светового пятна будет определяться соотношением (8.22), где вместо L будет стоять Lэк. Если резонатор образован двумя одинаковыми сферическими зеркалами радиусами R1=R2=R, расположенными на расстоянии L друг от друга, то из (8.21) получаем, что длина эквивалентного конфокального резонатора
Эквивалентный конфокальный резонатор определяет только собственные функции произвольного сферического резонатора. Нахождение собственных значений не может быть сведено к задаче о конфокальном резонаторе. В частности, собственные частоты vmnq в общем случае будут определяться не соотношением (8.20), а более сложными выражениями. В обобщенном сферическом резонаторе частотное вырождение мод обычно исчезает.
Сферический резонатор может быть либо устойчивым, либо неустойчивым (в последнем случае резонатор по существу теряет свои резонансные свойства). Например, если резонатор образован двумя одинаковыми сферическими зеркалами радиусами R, причем L>2R, то, как следует из (8.23), ему невозможно подобрать эквивалентный конфокальный резонатор. Это означает, что в таких резонаторах невозможно образование устойчивого стационарного распределения электромагнитного поля с малыми потерями.
Пусть R1 и R2— радиусы зеркал, a L — расстояние между ними. Можно показать, что резонатор будет устойчивым и ему всегда можно подобрать эквивалентный конфокальный резонатор, если выполняется неравенство
0 ≤ ( |
L |
− 1)( |
L |
− 1) ≤ 1 . |
(8.24) |
|
|
|
R1 |
|
R2 |
|
Рис. 8.9. Диаграмма устойчивости оптических резонаторов
