Компьютерное моделирование систем

71

9 Гибридные динамические системы

Термин «динамическая система» первоначально отождествлялся с автономной системой обыкновенных дифференциальных уравнений. Сейчас таковыми являются любые системы, чье поведение зависит от времени. Среди динамических систем особо выделяют гибридные системы, простейшие примеры которых кратко рассмотрим ниже.

9.1 Прыгающий мячик

Будем изучать движение шарика массы m , брошенного с начальной скоростью V0 под углом к горизонтальной плоскости в плоскопараллельном поле тяготения [1]. После броска шарик взлетит вверх, затем вниз, ударяется о плоскость и отскакивает вверх. При абсолютно упругом ударе траектория шарика будет выглядеть так, как показано на рисунке 9.1. Здесь y – высота полета, x – дальность.

y

x

Рис. 9.1 – Траектория шарика при упругом ударе

Из этого рисунка хорошо видны две чередующиеся фазы – полет и отскок. В фазе полета поведение шарика описывается системой уравнений:

тикальная составляющие скорости; g – ускорение силы тяжести. Здесь можно рассматривать отскок как мгновенное дискретное действие, в результате которого происходит изменение знака вертикальной составляющей скорости на противоположный. Момент отскока определяется при помощи выполнения неравенств вида y 0, Vy 0.

Алгоритм смены фаз движения шарика схематически показан на рисунке 9.2. В начальный момент t 0, x 0, y 0, Vx V cos , Vy V sin , шарик

находится в состоянии «полет» и движется согласно системе (9.1). В некоторый момент времени t *, который определяется логическим предикатом, полет заканчивается и уравнения (9.1) перестают работать, шарик мгновенно меняет направление движения (Vy Vy ) и полет продолжается, но уже с новыми начальными условиями.

Полет

when[y<=0]and[Vy<0] action (Vy=-Vy)

Рис. 9.2 – Алгоритм смены фаз движения шарика

Кружок со стрелкой, указывающий на состояние «полет» говорит о том, что это начальное состояние. Стрелка, исходящая из кружка и возвращающаяся в него, показывает, что состояние «полет» периодически повторяется. Стрелке предписаны условия выхода из текущего состояния и мгновенные действия по переходу в новое состояние.

Описание поведения таких систем включает в себя не только описание не-

прерывного действия, но и описание дискретных действий, указывающее, когда наступают изменения и какие действия следует выполнить.

73

Поведение гибридной системы можно рассматривать как склейку непрерывных поведений в виде кусочно-непрерывной функции. Место склейки (момент времени t *) называют временной щелью. Ее особенности иллюстрирует график изменения вертикальной составляющей скорости (рис. 9.3).

Vy

t t*

Рис. 9.3 – Изменения вертикальной составляющей скорости шарика

Переменная Vy в один и тот же момент времени t * смены поведения имеет

два значения – отрицательное и положительное, то есть имеем дело с многозначными функциями. Это следствие нашего допущения о том, что процесс отскока имеет нулевую длительность.

Как видим, гибридные или событийно-управляемые системы являются обобщением классических динамических систем, у которых в различных областях физического пространства меняются уравнения, размерность, состав фазового вектора. При их описании приходится использовать как традиционные непрерывные модели (системы дифференциальных уравнений), так и классические дискретные (конечные) автоматы, опирающиеся на различные модели времени. Для такого совмещения необходимо рассмотреть новую модель времени.

9.2 Время

При рассмотрении реальных физических процессов часто вместо непре-

рывного вводят дискретное время. Под дискретным временем понимают упоря-

доченную, неограниченно возрастающую последовательность вещественных чисел t0, t1, tk .... , а чаще всего множество целых чисел.

Дискретное время является независимой переменной в разностных урав-

нениях вида zi 1 F zi , ..., zi k , zi 1 z(i 1); ti i.

74

Здесь искомая функция z(t) определена только в точках сетки ti, поэтому она и получила название сеточной. Используются также сеточные функции, временные точки которых могут быть расположены неравномерно (переменный шаг).

Дискретное время естественным образом появляется там, где наблюдается разделение поведения на быстрые дискретные действия, и медленные непрерывные и длительные действия. В этом случае при описании совместной системы «объект – регулятор» возникают одновременно дифференциальные уравнения (уравнения объекта):

и разностные уравнения (уравнения регулятора):

un 1 G x(tn ), un ;

(9.3)

un u tn , tn 1 tn h.

На рисунке 9.4 представлена система, состоящая из ПД-регулятора (CU) и объекта управления (СО).

Рис. 9.4 – Система, состоящая из ПД-регулятора (CU) и объекта управления (СО)

Поведение объекта управления описывается уравнениями типа (9.2). Здесь Y – непрерывная координата объекта; Ym – ее квантованное значение; U – управляющий сигнал; Tau – задержка в выдаче сигнала управления.

9.3Пространство

Вньютоновских законах движения наряду с независимой переменной «время» присутствуют пространственные координаты (x, y, z) движущейся

точки. Четверка (t, x, y, z) определяет положение тела в пространстве и времени. Можно следить за положением точки x(t), y(t), z(t) как функцией времени,

75

графики которых в отдельности будем далее называть временными диаграммами. Можно также следить за положением точки А: xа (t), yа (t), zа (t) в осях x, y, z . Тогда обычно говорят о фазовых диаграммах. На следующих рисунках показано, как выглядит решение дифференциального уравнения, представленное в виде временной (рис. 9.5) и фазовой (рис. 9.6) диаграмм.

Рис. 9.5 – Временная диаграмма

Рис. 9.6 – Фазовая диаграмма

Обобщая понятия физического пространства и фазовых переменных x , y, z можно говорить о фазовом векторе Х Rn вещественного пространства размерности n . В общем случае фазовый вектор X x1, x2 , K , хn это множе-

ство независимых фазовых координат, каждая из которых имеет свое множество

77

В дискретном случае обычно говорят не о всем множестве событий, а лишь об отдельных (особых) событиях. Если речь идет о кусочно-постоянных функциях (КПФ), то из-за мгновенного перехода опознавать изменения можно, следя не за фронтом сигнала, а за его уровнем.

Использование только второй координаты события для КПФ породило название «дискретные события» и еще один способ описания этих функций. Их изображают в виде графа, приписывая каждому узлу одно значение функции, например периодической функции light, описывающей функционирование светофора:

light(i T ) light(i), T 3, i 1, 2, 3.

light(i) {green, i 1;

,

{yellow, i 2 { red, i 3.

соответствует граф, изображенный на рисунке 9.8.

Рис. 9.8 – Граф, описывающей функционирование светофора

С событиями тесно связаны еще два понятия: сигнал и сообщение. Когда не интересует суть события, а только факт того, что данное событие произошло, ему можно дать имя и связать с этим именем сеточную функцию, принимающую, например, значение true в момент, когда происходит указанное событие. Такую функцию принято называть сигналом – signal : signal t*, x t * true .

На рисунке 9.9 показано, как можно моделировать маяк, используя сеточные функции signal. Это реализовано с помощью двух специальных переменных типа red и green типа signal, определенных только в точках 1, 2, 3…

78

Рис. 9.9 – Моделирование маяка с использованием сеточных функций

Контрольные вопросы

1.Какие системы называются гибридными?

2.Какие типы поведения характеризуют гибридные системы?

3.Какие имеются фазы движения у скачущего шарика?

4.Как можно рассматривать отскок в полете шарика?

5.Какое время используется при рассмотрении реальных физических процессов?

6.Как характеризуются временные диаграммы?

7.Что представляют собой фазовые диаграммы?

8.Что принято называть событием?

9.Поясните такие понятия, как сигнал и сообщение.

Литература

1.Бенькович, Е. Практическое моделирование динамических систем / Е. Бенькович, Ю. Колесов, Ю. Сениченков. – СПб. : БХВ-Петербург,

2002. – 464 с.

79

10 Гибридные автоматы

10.1 Типы гибридных систем

Теперь можно перейти к построению гибридных автоматов. Используемый для этого формализм должен содержать средства для описания непрерывного поведения и механизм смены состояний. Здесь предлагается объединить язык диф-

ференциальных уравнений и язык конечных автоматов в единый формализм,

позволяющий описать смену поведения в различных областях фазового пространства.

Из рассмотренных примеров можно выделить три типа гибридных систем:

1)сохраняющие единое описание во всем пространстве и меняющие только начальные условия при переходе из области в область;

2)меняющие значения параметров в правых частях в зависимости от наступления событий;

3)меняющие правые части и число уравнений в момент, когда происходит смена поведения.

10.2Смена начальных условий

Возьмем для примера систему, которая описывается линейными дифференциальными уравнениями (ДУ) второго порядка с постоянной матрицей. Ее фазовым пространством являются квадранты фазовой плоскости или ячейки. Собственные значения у этой системы вещественны и имеют разные знаки.

Свяжем состояния гибридной системы с ячейками фазового пространства. Зная их границы, действуем следующим образом:

1)выберем начальные условия в одной из них;

2)зафиксируем время или кривую внутри ячейки, по достижению которых решение останавливается;

3)выбираются новые начальные условия, но уже в другой ячейке;

4)повторяем этот процесс по определенным правилам, получаем последовательность решений ДС, соответствующую решению гибридной

(ГДС).

У построенной ГДС будет столько состояний, сколько ячеек последовательно будем проходить, а система уравнений для каждого состояния будет одной и той же. Условием перехода из состояния в состояние будет либо заданное

80

время, либо достижение неких граничных значений, а мгновенными действиями –

смена начальные условия по алгоритму, зависящему от конкретной ячейки.

Пример линейной системы с особой точкой типа «седло»

В качестве примера выберем систему линейных ДУ на плоскости R2 c особой точкой типа «седло»:

исоответствующими подобластями:

1x1 0; x2 0; 2 x1 0; x2 0; 3 x1 0; x2 0;

Вначальный момент времени

12 : x0 [ x2 , b]T ; 2 3 : x0 [x2 , b]T ;

3 4 : x0 [x2 , b]T ;

4 1: x0 [ x2 , b]T ,

где х2 значение второй компоненты вектора х, при переходе границы.

Время t * нахождение системы в конкретной подобласти при выбранной системе координат определяется только начальным значением первой компо-

При этом вторая компонента при достижении новой границы в момент t * будет равна

x2 (t*) exp 2t* b.

Эта простая система демонстрирует уже довольно сложное поведение. В зависимости от значений параметров: а, b, xi0, , Т – время обхода подобластей 1 2 3 4 может стремиться либо к бесконечности, либо к нулю. Вырождение системы в чисто дискретную происходит при Т 0 (движение по углам прямоугольника, ограничивающего область задания гибридной системы). На