Компьютерное моделирование систем

201

Однако на определенном шаге ошибка на тестовом множестве начинает возрастать, при этом ошибка на обучающем множестве продолжает уменьшаться. Этот момент считается концом реального или настоящего обучения, с него и начинается переобучение. Описанный процесс проиллюстрирован на рисунке 22.2.

Шаги обучения

Рис. 22.2 – Процесс обучений сети. Явление переобучения

На первом шаге ошибки прогноза для обучающего и тестового множества одинаковы. На последующих шагах значения обеих ошибок уменьшаются, однако с семидесятого шага ошибка на тестовом множестве начинает возрастать, т. е. начинается процесс переобучения сети. Прогноз на тестовом множестве является проверкой работоспособности построенной модели. Ошибка на тестовом множестве может являться ошибкой прогноза, если тестовое множество максимально приближено к текущему моменту.

Контрольные вопросы

1.Для чего создавались нейронные сети? В чем состоит их основная идея?

2.Дайте определение нейронных сетей.

3.Чем представляется нейронная сеть?

4.Какими могут быть модели нейронных сетей?

5.Назовите ряд задач, решаемых с помощью нейронных сетей.

6.Чем синхронные нейронные сети отличаются от асинхронных?

7.Дайте определение слоя.

202

8.Дайте определение персептрона.

9.В чем отличие однослойной сети от многослойной?

10.Что такое функция ошибок?

11.С чем связано переобучение в сети?

Литература

1.Дьяконов, В. П. VisSim+Mathcad+MATLAB. Визуальное математическое моделирование / В. П. Дьяконов. – М. : СОЛОН-Пресс, 2004. –

384 с.

2.Технология системного моделирования / под общ. ред. С. В. Емельянова, Е. Ф. Аврамчук, А. А. Вавилова. – М. : Машиностроение, 1988. –

520 с.

205

Дисперсия. Значение разброса случайной величины, т. е. отклонение от математического ожидания:

D( X ) M X M ( X ) 2 .

На вход подается генеральная совокупность, для которой определяется арифметическое среднее и вычисляется дисперсия. На выходе находится вычисленное значение дисперсии.

Среднеквадратичное отклонение – показатель распространения рассеивания значений случайной величины относительно ее математического ожидания. Измерение производится в единицах измерения самой случайной величины. Среднеквадратичное отклонение равно квадратному корню из дисперсии:

В компоненте выполняется вычисление дисперсии, из которой берется квадратный корень. На выходе – вычисленное значение дисперсии.

Максимальное и минимальное значение. Показатель максимального и ми-

нимального значения выборки:

Xmin min(X ) . Xmax max( X )

В компонентах выполняется поиск максимального и минимального значения. На выходе получается вещественное число.

Корреляция – Статистическая взаимосвязь двух или нескольких случайных величин. Получаемый коэффициент варьируется от –1 до +1 в зависимости от степени зависимости случайных величин между собой:

На данный компонент подаются два источника с данными. На выходе получается коэффициент корреляции.

Таблица 23.2 Компоненты для обработки генеральных совокупностей

206

23.2 Реализация компонентов класса для функций распределения

Плотность вероятности нормального распределения. Нормальное рас-

пределение – это распределение вероятностей, которое задается функцией распределения вида:

где среднее значение (математическое ожидание) случайной величины, ко-

торое указывает координату максимума кривой плотности распределения, а 2 дисперсия, которая должна быть вещественной и строго больше 0. В компонент

на пин VN1 подаются данные, параметры и 2 вводятся в панели свойств. По умолчанию эти параметры имеют значения 0 и 1 соответственно. На выходе компонента пин VN 2 получается массив данных, который можно использовать в дальнейших исследованиях или для построения графика.

207

Распределение Стьюдента однопараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений.

Так как используется гамма-функция и у нас нет цели переходить в комплексную плоскость, то n 0 . В компонент подается массив данных, параметр n вводится в панели свойств, по умолчанию n 1.

Распределение Пуассона моделирует случайную величину, представляющую собой число событий, произошедших за фиксированное время, при условии, что данные события происходят с некоторой фиксированной средней интенсивностью и независимо друг от друга.

f (x) x e , x!

где [0; ) и x {1.2.3 }. Параметр вводится в панели свойств компонента. Равномерное распределение характеризуется тем, что вероятность любого

интервала зависит только от его длины.

208

23.3Метод Монте-Карло

Вобщем случае исследуемая система содержит ряд элементов, обладающих некоторой неопределенностью. Подобные системы обычно называют стохастическими (вероятностными), т. к. их поведение не может быть полностью предсказано заранее. При имитации стохастических систем требуется описывать изменчивость элементов в терминах теории вероятностей. Не следует также забывать, что результаты, полученные с помощью имитационной модели, носят вероятностный характер и требуют статистической интерпретации.

Воснове стохастического моделирования лежит метод статистических ис-

пытаний – метод Монте-Карло (ММК). Следует сразу выделить два основных класса задач, решаемых ММК.

Во-первых, ММК позволяет моделировать любой процесс, на протекание которого влияют случайные факторы. Во-вторых, для многих математических задач – детерминированных, т. е. не связанных с какой-либо вероятностью, – можно искусственно придумать вероятностную модель (и даже не одну), позволяющую решать эту задачу.

Примером такой задачи является вычисление определенного интеграла

b

I f (x)dx , который геометрически равен площади заштрихованной фигуры

a

(рис. 23.2).

Рис. 23.2 – Интегрирование методом Монте-Карло

209

Рассмотрим теперь следующую вероятностную модель:

1.Допустим, мы умеем моделировать на декартовой плоскости точки, равномерно распределенные в прямоугольнике abcd.

2.Пусть мы проводим этот опыт N раз, из них n точек попали в заштрихованную фигуру , тогда из геометрического определения вероятности и чисто интуитивно можно записать:

Очевидно, что аналогичным образом можно решить задачу об объеме некоего тела и т. п.

23.4 Построение гистограмм

Гистограммой называется график, аппроксимирующий по случайным данным плотность их распределения. При построении гистограммы область значений случайной величины ( а, b разбивается на некоторое количество bin сегментов, а затем подсчитывается процент попадания данных в каждый сегмент. Для построения гистограмм в Mathcad имеется несколько встроенных функций. Рассмотрим их начиная с самой сложной по применению, чтобы лучше разобраться в возможностях каждой из функций.

Гистограмма с произвольными сегментами разбиения:

hist (intvis, x) – вектор частоты попадания данных в интервалы гисто-

граммы;

intvis – вектор, элементы которого задают сегменты построения гистограммы в порядке возрастания a intvisi b ;

х – вектор случайных данных.

Если вектор intvis имеет bin элементов, то и результат hist имеет столько же элементов. Построение гистограммы иллюстрируется листингом и рисун-

ком 23.3.

Листинг. Построение гистограммы

210

Для анализа взято N 1000 данных с нормальным законом распределения, созданных генератором случайных чисел (третья строка листинга). Далее определяются границы интервала (upper, lower), содержащего внутри себя все случайные значения, и осуществляется его разбиение на количество (bin) одинаковых сегментов, начальные точки которых записываются в вектор int (предпоследняя строка листинга). В векторе int можно задать произвольные границы сегментов разбиения так, чтобы они имели разную ширину.