Компьютерное моделирование систем

81

рисунке 10.1 показаны пример фазового портрета рассмотренной системы и зависимость решения от времени. На рисунке 10.1, а хорошо видны ячейки, совпадающие с квадрантами фазовой плоскости. Движение внутри каждой ячейки начинается со своих начальных условий и заканчивается, когда изображающая точка достигает заданных границ. На рисунке 10.1, б приведены решения как функции времени.

Рис. 10.1 – Решения системы как функции времени

10.3 Зависимость от параметров

Рассмотрим электрическую цепь (рис. 10.2), у которой в зависимости от положения ключа может меняться значение сопротивления.

R1

L

Рис. 10.2 – Электрическая цепь, у которой меняется значение сопротивления

Если R* меняется периодически R*(t) R*(t Т ) , например, при Т 2

R* R1 t [0, 1] ,R2 t [1, 2]

то мы обеспечим периодическую смену характера поведения.

82

Поведение этой схемы описывается системой уравнений:

L dtdi R*i u E;

1 t

u id ; c 0

C dudt i.

Преобразуем последнюю систему уравнений, дополнив новым дифференциальным уравнением:

t 1,2,3. В этих точках координаты i и u склеиваются, образуя непрерывные функции, а R*(t) меняется скачком, в результате чего появляется кусочно-непре- рывная функция. Действительно, любую систему ДУ с кусочно-постоянным па-

{(P(0) c2 в области V2

Изменение правой части ДУ возникает во многих практических задачах. В механических системах это часто связано с законом изменения возмущающей силы. Пример: колебания маятника, подверженного воздействию различных периодических функций:

83

Перейдем к новой системе:

коэффициенты k1 и k2 меняются скачком в соответствующих областях.

10.4 Карты состояний и гибридные автоматы

Для описания поведения систем с переменными коэффициентами при неизменной форме уравнений хорошо подходит формализм Харела [1], называ-

емый картами состояний (statchart).

Рассмотрим динамическую систему:

Так как коэффициенты k1(x) и k2 (x) – кусочно-постоянные функции, то их можно представить в форме конечного автомата с двумя состояниями: D1 и

рящие о достижении этих областей. Состояние D1 помечено как начальное. Автомат, изображенный на рисунке 10.3, несколько отличается от класси-

ческого конечного автомата. Он анализирует поступающие на него значения переменной х , входного сигнала и меняет свое текущее состояние, когда выполняются условия, приписанные дугам. В совокупности с приведенным ДУ карта со-

84

стояний (КС) дает полное описание непрерывно-дискретной (гибридной) системы. Можно сказать, что КС управляет значениями коэффициентов правой части ДУ и меняет характер непрерывного поведения.

x D

Рис. 10.3 – Карта состояний

Рассмотрим более сложную функцию y f (x) , называемую петлей гисте-

резиса (рис. 10.4).

y

x

Рис. 10.4 – Петля гистерезиса

Особенность этой функции заключается в том, что она не является однозначной. Однако ее легко превратить в однозначную, если учитывать предысторию обращения. Так, если новое значение аргумента оказалось на участке неоднозначности, а предыдущее значение функции было отрицательным, то реализуется одно поведение (участок а b ), а если положительным – другое (участок с d ). На рисунке 10.4 это обозначено стрелками, указывающими направление обхода участка неоднозначности. Ее вертикальные участки соответствуют разрывам первого рода, а на горизонтальных участках – ( а b ) и ( а b ) существует два значения функции для каждого значения аргумента.

85

Рассмотрим карту (рис. 10.5), имеющую два состояния, соответствующие положительным и отрицательным значениям функций ( P ) и ( N ).

x > p

Start (S)

N x ≥ p

Рис. 10.5 – Карта, имеющая два состояния

В карте состояний по аналогии с графами есть множество узлов графа (прямоугольники Start, P, N ), которые соединяются дугами ( S, P ), ( S, N ), ( P, N ),

( N, P ). Карта состояний функционирует в непрерывном времени и, по существу,

становится элементом описания динамической системы.

В заключение дадим определение гибридного автомата.

Гибридным автоматом Hsc S, SC, Q0 , F , Pr, Alg (обобщенной картой состояний) над множеством переменных S SC , S D называется граф SC

{Q, E} c множеством узлов (состояний) Q q1, q2 , qn и множеством ориен-

тированных дуг E qi , q j , i, j 1, n и функция F : TxS Sc , определяющая

характер изменения непрерывных переменных во времени, в зависимости от значений дискретных переменных. Каждому узлу графа поставлена в соответствие совокупность дискретных переменных, принимающих постоянное значение в данном состоянии, а каждой дуге – пара, состоящая из предиката и алгоритма

pri , alg j , i 1, k; j 1, m . Множество Q0 определяет множество начальных состояний [2].

86

Контрольные вопросы

1.Назовите три типа гибридных систем.

2.Поясните, как связаны состояния гибридной системы с ячейками фазового пространства.

3.Что называется, картами состояний (statеchart)?

4.Какова аналогия между картами состояний и графами?

5.Дайте определение гибридному автомату.

Литература

1.Harel, D. Statecharts: a visual formalism for complex systems // Science of Comp. Progr. – 1987. – Vol. 8, № 3. – P. 231–274.

2.Бенькович, Е. Практическое моделирование динамических систем / Е. Бенькович, Ю. Колесов, Ю. Сениченков. – СПб. : БХВ-Петербург, 2002. – 464 с.

87

11Разработка моделей дискретно-событийных систем

11.1Модели дискретно-событийных систем

Системы называются дискретно-событийными, если изменения переменных состояния в них происходят только в явно-определенные моменты времени или под влиянием явно-определенных событий. Находясь в некотором состоянии, дискретная система сохраняет его до наступления очередного события, после которого переменные системы изменяются скачком. Так, на примере банка, состояние системы изменяется, когда новый клиент входит в банк или освобождается кассир, а это уже можно считать мгновенными событиями, сопровождаемыми изменением состояния системы [1].

Stateflow инструмент для численного моделирования систем, характеризующихся сложным поведением [2]. К числу таких систем относятся гибридные системы. Примерами гибридных систем могут служить системы управления, используемые в промышленности (автоматизированные технологические процессы), в быту (сложные бытовые приборы), в военной области (высокотехнологичные виды вооружений), в сфере космонавтики, транспорта и связи. Все эти системы состоят из аналоговых и дискретных компонентов. Поэтому гибридные системы это системы со сложным взаимодействием дискретной и непрерывной динамики. Они характеризуются не только непрерывным изменением состояния системы, но и скачкообразными вариациями в соответствии с логикой работы управляющей подсистемы, роль которой, как правило, выполняет то или иное вычислительное устройство (конечный автомат). В том случае, когда логика работы управляющей подсистемы является жесткой, а внешние условия относительно стабильны, говорят о трансформационных системах (рис. 11.1). Для таких систем фазы получения информации, ее обработки и выдачи выходных сигналов четко разграничены. На момент обращения к системе все входные сигналы определены. Сигналы на выходах образуются после некоторого периода вычислений. Вычисления производятся по некоторому алгоритму, трансфор-

мирующему (преобразующему) входной набор данных в выходной.

88

A

Transformation

System

Рис. 11.1 – Трансформационная система

В противном случае систему относят к классу управляемых событиями, или реактивных. Реактивная это такая динамическая система, которая воспринимает внешние дискретные воздействия и отвечает своими реакциями на эти воздействия (рис. 11.2). Причем реакции системы различны и сами зависят как от воздействий, так и от состояния, в котором система находится. Основное от-

личие реактивных систем от трансформационных – в принципиальной непред-

сказуемости моментов поступления тех или иных воздействий. Эта непредсказуемость следствие изменчивости условий, в которых такие системы работают.

A

Reactive

System

time

Рис. 11.2 – Реактивная система

Пример простой реактивной системы контроллер светофора, управляе-

мого пешеходами. Его входы никогда не приобретут законченного вида сигналы на них поступают постоянно и в неизвестной заранее последовательности. Последние десятилетия характеризуются повсеместным распространением реактивных систем. Количество таких систем в мире превышает по некоторым оценкам число 1010. Неудивительно, что в соответствии с изменением окружающего нас мира меняются и подходы к его анализу. Моделирование физики технологических процессов (непрерывная составляющая поведения системы) дополняется

89

моделированием логики работы управляющих ими устройств (дискретная компонента). Математический аппарат описания в данном случае это система уравнений, но не дифференциальных, а дифференциально-алгебро-логических,

для которых отсутствуют стройная теория и единый подход. Так же обстоит дело и с наглядностью. Визуализация протекания физических процессов обеспечивалась графиками изменения во времени тех или иных величин. Попытка такого графического представления процессов в реактивных системах может закончиться неудачно. Основными причинами этого являются многократное возрастание количества отображаемых величин и отсутствие на графиках информации о причинно-следственных связях между изменяющимися переменными состояния.

В настоящее время для моделирования дискретной динамики реактивных систем широко используется предложенный Д. Харелом [2] визуальный формализм Statechart (диаграммы состояний и переходов). Основные неграфические компоненты таких диаграмм это событие и действие, основные графические компоненты состояние и переход.

Событие нечто, происходящее вне рассматриваемой системы, возможно требуя некоторых ответных действий. События могут быть вызваны поступлением некоторых данных или некоторых задающих сигналов со стороны человека или некоторой другой части системы. События считаются мгновенными (для выбранного уровня абстрагирования). Они образуют входной поток.

Действия это реакции моделируемой системы на события. Подобно событиям действия принято считать мгновенными. Они образуют выходной поток.

Состояние условия, в которых моделируемая система пребывает некоторое время, в течение которого она ведет себя одинаковым образом. В диаграмме переходов состояния представлены прямоугольными полями со скругленными углами.

Переход изменение состояния, обычно вызываемое некоторым значительным событием. Как правило, состояние соответствует промежутку времени между двумя такими событиями. Переходы показываются в диаграммах переходов линиями со стрелками, указывающими направление перехода. Каждому переходу могут быть сопоставлены условия, при выполнении которых переход осуществляется. С каждым переходом и каждым состоянием могут быть соотнесены некоторые действия. Действия могут дополнительно обозначаться как действия,

90

выполняемые однократно при входе в состояние; действия, выполняемые многократно внутри некоторого состояния; действия, выполняемые однократно при выходе из состояния.

Рассмотрим алгоритм работы светофора. Кроме начального состояния в модель нужно ввести дополнительные состояния.

Начальное состояние (go – движение транспорта разрешено, горит зеленый), затем светофор переходит в состояние attention горит мигающий зеленый. Затем светофор переходит в состояние slow – горит желтый. Остановка транспорта stop (запрет движения – горит красный) и ready (приготовиться к движению – горят красный и желтый). Состояние attention удобно представить гиперсостоянием с парой переключающихся элементарных событий: в одном горит зеленый (состояние А), в другом не горит – состояние В. Все они представлены на рисунке 11.3.