Компьютерное моделирование систем

101

5) делим левую и правую части уравнения для uL на L , а левую и правую части уравнения для iC – на С . Учитывая, что uL L didtL , iC C dudtC , получим уравнения состояния:

didtL L1 f1 iL , uC , u ; dudtC C1 f2 iL , uC , u .

Рассмотрим примеры составления уравнений состояния с помощью рассмотренного алгоритма.

Пример 12.1. Составить уравнения состояния для RLC-цепи второго порядка, показанной на рисунке 12.3.

Рис. 12.3 – RLC-цепь второго порядка

Решение. Составим эквивалентную резистивную схему, заменив индуктивный элемент источником тока, а емкостный – источником напряжения (рис. 12.4). В этой схеме ток источника тока изменяется по закону iL (t) , а ЭДС источника напряжения – по закону uC (t) .

Рис. 12.4 – Эквивалентная резистивная схема

103

R2

R1

iC2 R3

105

Здесь (n k) – единичный импульс (площадь = 1) при n k ; (n k) 1 при n k ; (n k) 0 при n k . Это функция Кронекера, она реализуется с помощью АЦП-микросхем.

Рис. 12.7 – Аналоговое и цифровое представление сигнала:

а) кривая сигнала; б) последовательность x(n); в) последовательность u(n)

Взяв прямое преобразование Лапласа

Решение дифференциальных уравнений путем сведения их к разностным

Линейному дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами может быть поставлено в соответствие разностное уравнение.

Первая производная по времени от непрерывной функции y(t) может быть

придавая n значения 1, 2, 3… и учитывать при этом, что у( 1) у( 2) 0 , а

х(0) , х(1) , х(2) известны.

Выводы

1.Поведение электрической цепи описывается в общем случае системой дифференциальных уравнений либо одним дифференциальным уравнением n -го порядка. Порядок уравнения равен суммарному числу индуктивных и емкостных элементов: n nL nC .

2.Наиболее рационально записывать уравнения цепи в виде системы дифференциальных уравнений первого порядка, разрешенных относительно первой производной одной из переменных. Такую систему на-

зывают уравнениями состояния.

3.Если корни характеристического уравнения цепи второго порядка ком- плексно-сопряженные, переходный процесс в цепи имеет колебательный характер.

Контрольные вопросы

1.Чему равен порядок исходного дифуравнения?

2.Какие переменные называются переменными состояния?

3.Какие матрицы называются матрицей параметров схемы и матрицей параметров входного воздействия?

4.Какие замены элементов исходной схемы надо произвести для составления эквивалентной резистивной схемы?

5.Как задается цифровой сигнал?

107

6.Как аппроксимируется производная по времени от непрерывной функции?

Литература

1.Бенькович, Е. Практическое моделирование динамических систем / Е. Бенькович, Ю. Колесов, Ю. Сениченков. – СПб. : БХВ-Петербург,

2002. – 464 с.

2.Востриков, А. С. Теория автоматического регулирования : учеб. пособие / А. С. Востриков, Г. А. Французова. – Новосибирск : Изд-во НГТУ,

2006. – 368 с.

109

ВАХ линейной подсхемы представляет прямую, проходящую через точки на осях напряжений и токов, соответствующие режимам холостого хода и короткого замыкания (рис. 13.3). Ее называют нагрузочной прямой.

В соответствии с равенствами (13.1) рабочая точка находится на пересечении ВАХ нелинейной подсхемы Nb и нагрузочной прямой (точка а на рисун-

ке 13.3).

I

Jкз

a

U

Uхх

Рис. 13.3 – Иллюстрация рабочей точки

Графический метод определения рабочей точки является приближенным и применяется на практике только для цепей простой конфигурации. Его достоинствами являются простота и наглядность. Графический метод можно использовать для определения начального приближения, а затем для получения точного решения применить численный метод.

Пример 13.1. Рассмотрим пример определения рабочей точки нелинейного

Рис. 13.4 – Схема с нелинейным элементом

Напряжение холостого хода линейного двухполюсника Uхх 2B. Ток ко-

роткого замыкания Iкз ER 0.08A . Нагрузочная характеристика цепи смеще-

ния – прямая, проходящая через точки с координатами (0, 0.08) и (2,0) на рисун-

ке 13.5.

110

J, A

0,08

0,04

U, B

1 2

Рис. 13.5 – График с рабочей точкой

Рабочая точка находится на пересечении нагрузочной прямой и ВАХ нелинейного резистора. Ее координаты (1; 0,04) .

13.2 Численное решение уравнений нелинейных резистивных цепей. Метод Ньютона – Рафсона

Наиболее распространенным методом решения уравнений, описывающих поведение нелинейных резистивных цепей, является метод Ньютона – Рафсона. Это итерационный метод решения нелинейных уравнений, записанных в виде

Предположим, что xk является приближенным значением корня уравнения (13.2). В окрестности xk 1 функцию f (x) можно разложить в ряд Тейлора:

Символом ' в последней формуле обозначена операция дифференцирования. Отбросим в (13.3) нелинейные слагаемые. Полагая, что уточненное значение корня xk 1 xk h является истинным, найдем значение поправки:

h f xk / f xk .

Решение уравнения (13.2) начинают с того, что определяют начальное приближение корня x0 . Уточненное значение xk 1, k 1, 2, K определяется по фор-

муле

Расчет повторяют до тех пор, пока поправка не станет меньше заданной постоянной :

xk 1 xk .

Равенство (13.4) называют уравнением Ньютона – Рафсона.