Компьютерное моделирование систем

112

Решение. В соответствии с первым законом Кирхгофа

J GU 0.04U 2 0 .

Итак, нелинейное уравнение имеет вид:

f (U ) 0.08 0.04U 0.04U 2 0 .

Производная определяется уравнением:

f (U ) 0.04 0.08U.

Выберем начальное приближение U0 0 . Уточненное решение на первом

На третьем и четвертом шагах получим: U3 1.012, U4 1. Таким образом, напряжение нелинейного элемента U 1 В.

Метод Ньютона – Рафсона можно использовать и для решения систем не-

водным dfi / dx j .

Равенство (13.5) называют n -мерным аналогом уравнения Ньютона – Рафсона.

Обращение матрицы Якоби в формуле (13.4) требует значительного количества операций. С вычислительной точки зрения более эффективно решить систему линейных уравнений:

Как и в одномерном случае, в n-мерном случае метод Ньютона – Рафсона обеспечивает быструю сходимость в тех случаях, когда начальное приближение выбрано достаточно близко к истинному решению. Однако объем вычислений при решении многомерной задачи резко возрастает, поскольку на каждом шаге требуется вычислять n2 производных в матрице Якоби.

113

Рассмотрим основные этапы процедуры решения системы нелинейных уравнений методом Ньютона – Рафсона.

1.Выбираем максимальное число итераций m и допустимую величину ошибки .

2.Выбираем начальное приближение x(0) .

3. Решаем уравнение (13.6) и находим уточненное решение x(1) .

неравенство не выполняется, повторяем шаг 3, используя уточненное значение вектора переменных.

5.Если число итераций превысило m и решение не найдено, выбирается новое начальное приближение и процедура решения повторяется.

13.3Дискретные схемы замещения

нелинейных резистивных цепей

При использовании метода Ньютона – Рафсона для решения системы нелинейных уравнений на каждой итерации необходимо вычислять частные про-

изводные dfi xk / dx j для получения матрицы Якоби J xk , что приводит к

большим затратам машинного времени. Эту трудность можно преодолеть, если на каждой итерации нелинейные резисторы представлять эквивалентными лине-

аризованными схемами.

Рассмотрим нелинейную цепь, изображенную на рисунке 13.8, а. Вольтамперная характеристика нелинейного резистора показана на рисунке 13.8, в.

Поскольку зажимы нелинейного элемента замкнуты накоротко, уравнение нелинейной цепи:

Обозначим начальное приближение I (0) . В соответствии с формулой Ньютона – Рафсона

115

Если цепь содержит несколько нелинейных элементов, каждый из них можно заменить линейной эквивалентной схемой. Таким образом, решение системы нелинейных уравнений методом Ньютона – Рафсона эквивалентно анализу последовательности линейных схем замещения. На всех итерациях структура линейной цепи остается неизменной, а ее параметры меняются дискретно. Поэтому такие эквивалентные схемы получили название дискретных линейных схем замещения.

Достоинство дискретных линейных схем замещения заключается в том,

что процедура определения рабочей точки сводится к анализу линейных резистивных схем.

Пример 13.2. Построить линейную схему замещения полупроводникового диода, ВАХ которого описывается выражением:

ID I0 eUDVt 1 .

Здесь I 0 – обратный ток насыщения диода; Vt – температурная постоян-

ная.

Решение. Вольт-амперная характеристика диода показана на рисунке 13.9.

ID

IDO

UD

UDO

Jэ

Рис. 13.9 – Вольт-амперная характеристика диода

На рисунке 13.10 показана линейная схема замещения. Параметры линейной схемы:

Gэ dIdUD0 VtI0 eUD0Vt ;

Jэ ID0 GэUD0.

116

Рис. 13.10 – Линейная схема замещения

При комнатной температуре ( 25oС ) Vt 25.8 мВ. Обратный ток насыще-

ния маломощного диода I0 10 15 А . Если напряжение диода UD0 0.7 В, ток

ID0 I0 eUDVt 1 1 мА , то параметры дискретной линейной схемы замещения

диода таковы:

Gэ VtI0 eUD0Vt ***;

Jэ ID0 GэU D0 ***.

Выводы

1.Одна из важнейших задач анализа нелинейных цепей заключается в определении рабочих точек или точек смещения электронных приборов.

2.Рабочей точкой нелинейного элемента называют значения постоянных напряжения и тока, изображаемых в виде точки на его вольт-амперной характеристике.

3.Для определения рабочих точек нелинейных элементов используют графические и численные методы.

4.Графический метод определения рабочей точки является приближенным. Его достоинствами являются простота и наглядность. Графический метод можно использовать для определения начального приближения, а затем для получения точного решения применить численный метод.

117

5.Для анализа сложных нелинейных цепей используют численные методы. Наиболее распространенным методом решения уравнений, описывающих поведение нелинейных резистивных цепей, является метод Ньютона – Рафсона.

6.В программах схемотехнического моделирования используют схемную интерпретацию метода Ньютона – Рафсона – метод линеаризованных схем замещения [3].

Контрольные вопросы

1.Что такое рабочая точка и нагрузочная прямая?

2.В каких случаях можно использовать графический метода анализа?

3.Какие эквивалентные схемы получили название дискретных линейных схем замещения?

4.Какие методы используют при анализе сложных нелинейных цепей?

5.Как реализуется схемная интерпретация метода Ньютона – Рафсона?

Литература

1.Влах, И. Машинные методы анализа и проектирования электронных схем / И. Влах, К. Синхгал. – М. : Радио и связь, 1988. – 560 с.

2.Норенков, И. П. Сиcтемы автоматизированного проектирования электронной и вычислительной аппаратуры / И. П. Норенков, В. Б. Маничев. – М. : Высш. шк., 1983. – 272 с.

3.Дмитриев, В. М. МАРС – среда моделирования технических устройств и систем / В. М. Дмитриев, А. В. Шутенков, Т. Н. Зайченко, Т. В. Ганджа. – Томск : В-Спектр, 2011. – 278 с.

118

14 Моделирование дискретных систем

14.1 Математическое описание систем дискретного управления

Дискретно представляемые сигналы описываются функциями дискретной переменной. Для описания дискретных систем используются решетчатые функции и разностные уравнения. Решетчатые функции являются аналогами непрерывных функций, описывающих непрерывные системы, а разностные уравнения являются аналогами дифференциальных уравнений.

Решетчатой функцией называется функция, получающаяся в результате замены непрерывной переменной на дискретную независимую переменную, определенную в дискретные моменты времени kТ , k 0,1, 2, Непрерывной функции x(t) соответствует решетчатая функция х(kТ ) , где Т – период квантования, при этом непрерывная функция является огибающей решетчатой функции. При заданном значении периода квантования Т непрерывной функции x(t) соответствует однозначная решетчатая функция х(kТ ) . Однако обратного однозначного соответствия между решетчатой и непрерывной функцией не существует, так как через ординаты решетчатой функции можно провести множество огибающих.

Отсчеты по шкале времени удобно вести в целочисленных единицах периода квантования Т . С этой целью вместо переменной t непрерывной функции введем новую переменную t / T , при этом непрерывной функции x( ) будет соответствовать решетчатая функция x(k) xk .

Теорема Котельникова – Шеннона. Процедура преобразования сигнала непрерывного времени x(t) к дискретному виду, квантованному по времени, называется квантованием. Такая процедура отражает как реальные процессы, проходящие в цифровых системах управления, так и математические операции, использующиеся в различных сферах теории информации. В результате квантования получается импульсная последовательность х(kТ ) (решетчатая функция), которая при t kT совпадает с исходным сигналом: x(kT ) x(t) |t kT и не опре-

делена между отсчетами k . Потери информации при квантовании зависят от величины интервала квантования Т (частоты квантования 2 / T ). Выбор интервала Т обычно осуществляется из соображений теоретической возможности точ-

119

ного восстановления исходного сигнала по данной дискретной выборке. Согласно теореме Котельникова – Шеннона, если спектр сигнала x(t) ограничен максимальной частотой max , то точное восстановление функции x(t) теоретически возможно при условии, что на одном периоде максимальной частоты в сигнале имеется минимум два дискретных отсчета, т. е. частота квантования ω должна быть более чем в 2 раза больше наибольшей частоты max в сигнале:

2 max , T / max.

Разностные уравнения. Связь между значениями решетчатой функции при разных значениях аргумента определяется с помощью конечных разностей, ко-

торые являются аналогами производных в дифференциальных уравнениях. Разностью первого порядка (первой разностью) называется разность меж-

ду последующим дискретным значением решетчатой функции и ее текущим значением:

x(k) x(k 1) x(k).

Разность первого порядка характеризует скорость изменения решетчатой функции и, следовательно, является аналогом первой производной непрерывной функции.

Разность второго порядка определяется как разность двух соседних разностей первого порядка:

2 x(k) x(k 1) x(k) x(k 2) x(k 1) x(k 1) x(k)x(k 2) 2x(k 1) x(k).

Разности любого m -го порядка вычисляются аналогично:

m x(k) m 1x(k 1) m 1x(k);

m

m x(k) ( 1)n x(k m n)m!/ k!(m n)! .

n 0

Дискретизация автономных систем. Под дискретизацией системы подра-

зумевается преобразование непрерывной динамической модели к дискретной форме описания в разностных уравнениях. При этом предполагается, что в моменты t kT импульсные сигналы x(kT ) полученной дискретной модели с определенной степенью точности повторяют значения сигналов x(t) исходной непрерывной системы. C использованием разностных уравнений математическое описание линейных импульсных систем приводится к виду:

120

Уравнение (14.1) является линейным разностным уравнением с постоян-

ными коэффициентами аm (m 0, 1, 2, ...) , аналогом однородного линейного дифференциального уравнения при описании непрерывных динамических си-

Таким образом, в дискретной системе (14.1) процессы в квантованные моменты времени t kT точно совпадают с процессами в исходной непрерывной системе. Так как решения дискретной системы в промежуточные моменты времени не определены, то корректный переход к дискретной форме предусматривает выбор интервала квантования Т в соответствии с теоремой Котельникова – Шеннона.

Дискретное z -преобразование. В теории импульсных систем для решения разностных уравнений используется дискретное преобразование Лапласа и его модификация дискретное z -преобразование. Преобразование Лапласа для непрерывной функции х(t) :

k 0

называется z -преобразованием. Оно лежит в основе метода решения разностных уравнений. Дискретное преобразование Лапласа X (z) отличается от z -преобра- зования наличием нормирующего множителя Т . При анализе дискретных си-