Компьютерное моделирование систем

171

Выполнение сети Петри (или поведение моделируемой системы) рассматривается здесь как последовательность дискретных событий. Порядок появления событий является одним из возможных, допускаемых основной структурой. Это приводит к явной недетерминированности в выполнении сети Петри. Если в ка- кой-то момент времени разрешено более одного перехода, то любой из нескольких возможных переходов может стать «следующим» запускаемым. Выбор запускаемого перехода осуществляется недетерминированным образом, т. е. случайно. Эта особенность сети Петри отражает тот факт, что в реальной жизненной ситуации, где несколько действий происходит одновременно, возникающий порядок появления событий неоднозначен; скорее может возникнуть любое из множества последовательностей событий. Однако частичный порядок появления события единствен.

Для простоты обычно вводят следующее ограничение. Запуск перехода (и соответствующего события) рассматривается как мгновенное событие, занимающее нулевое время, и возникновение двух событий одновременно невозможно. Моделируемое таким образом событие называется примитивным; примитивные события мгновенны и не одновременны. Непримитивными называются такие события, длительность которых отлична от нуля. Они не являются неодновременными и, следовательно, могут пересекаться во времени. Так как осуществление большинства событий в реальном мире занимает некоторое время, то они являются непримитивными событиями и поэтому не могут должным образом моделироваться переходами в сети Петри. Однако это не приводит к возникновению проблем при моделировании систем. Непримитивное событие может быть представлено в виде двух примитивных событий: «начало непримитивного события», «конец непримитивного события» – и условия «непримитивное событие происходит». Эта ситуация может быть промоделирована с помощью сети, показанной на рисунке 19.8.

Рассмотренные ситуации требуют внимательного изучения моделируемых сетями Петри систем для правильного отображения их поведения.

Контрольные вопросы

1.Что называют системами массового обслуживания?

2.Назовите виды СМО.

3.Назовите основные параметры СМО.

4.Что такое сети Петри?

5.Из каких элементов состоит структура сетей Петри?

172

6.Как графически изображаются сети Петри?

7.Назовите основные правила выполнения сетей Петри.

Литература

1.Ивченко, Г. И. Теория массового обслуживания : учеб. пособие для вузов / Г. И. Ивченко, В. А. Каштанов, И. Н. Коваленко. – М. : Высш. шк., 1982. – 256 с.

2.Ехлаков, Ю. П. Сети Петри в моделировании бизнес-процессов. Теоретические основы и приложения / Ю. П. Ехлаков, О. И. Жуковский, П. В. Сенченко, В. Ф. Тарасенко. – Томск : Томск. гос. ун-т систем упр. и радиоэлектроники, 2007. – 180 с.

3.Губин, И. Г. Разработка систем автоматизированного проектирования (САПР). Организация системотехнической деятельности при создании САПР : учеб. пособие / И. Г. Губин. – Томск : Томский межвузовский центр дистанционного образования, 2001. – Ч. 1. – 127 с.

4.Питерсон, Дж. Теория сетей Петри и моделирование систем / Дж. Пи-

терсон. – М. : Мир, 1984. – 264 с.

5.Ломазова, И. А. Вложенные сети Петри. Моделирование и анализ распределенных систем с объектной структурой / И. А. Ломазова. – М. : Научный Мир, 2009. – 208 с.

173

20 Классификация сетей Петри

20.1 Автоматные сети Петри

Автоматные сети Петри (statemachine) сети, у которых переход имеет не более одного входа и не более одного выхода. Такие сети обычно описывают последовательные процессы с ветвлением по условию. Если сеть имеет только одну метку, то сеть является, по сути, графом автомата, который последовательно переходит из одного состояния в другое. Сеть снабжается одной фишкой, расположенной в начальной вершине. Общее число фишек в автоматной сети при переходе от состояния к состоянию не меняется, т. е. SM-сети являются ограниченными, а при наличии одной фишки – безопасными.

20.2 Маркированные сети

Маркированные сети (MG-сети, или marketgraph) – сети, у которых каждая позиция имеет не более одного входа и не более одного выхода. С помощью них моделируют последовательно-параллельные процессы. MG-сети называют также синхрографами. Переход в синхрографе является потенциально живым, если он не входит не в один пустой цикл (не содержит ни одной фишки). Синхрограф является живым, если каждый его цикл не пуст при начальной разметке. Живой синхрограф является безопасным тогда и только тогда, когда каждое его место входит в определенный цикл, содержащий ровно одну фишку [1].

Маркированной сетью Петри называется набор S, T , F, M0 , где

1.(S, T , F ) – сеть;

2.M0 S – начальная маркировка.

Пример маркированной сети.

На рисунке 20.1 приведен пример маркированной сети. В начальной маркировке место s1 имеет две метки (токена), место s3 – одну метку, а места s2 , s4 – ни одной метки, т. е.

Сети Петри были разработаны и используются для моделирования параллельных и асинхронных систем. При моделировании в сетях Петри места символизируют какое-либо состояние системы, а переход символизируют какие-то

174

действия, происходящие в системе. Система, находясь в каком-то состоянии, может порождать определенные действия, и наоборот, выполнение какого-то действия переводит систему из одного состояния в другое.

s1 s3

t1 t2

2

t3

Рис. 20.1 – Пример маркированной сети Петри

Текущее состояние системы определяет маркировка сети Петри, т. е. расположение меток (токенов) в местах сети. Выполнение действия в системе, в сетях Петри определяется как срабатывание переходов. Срабатывание переходов порождает новую маркировку, т. е. порождает новое размещение меток (токенов) в сети. Определим функционирование маркированных сетей, основанное на срабатывании отдельных переходов.

Правило срабатывания переходов

Пусть S, T , F, M0 – маркированная сеть.

Срабатывание перехода обозначается как M [t M .

Иными словами, переход считается возбужденным при некоторой маркировке, если в каждом его входном месте имеется количество меток не менее кратности соответствующих дуг. Возбужденный переход может сработать, причем при срабатывании из каждого его входного места изымается, а в каждое входное добавляется некоторое количество меток, равное кратности соответствующих

175

дуг. Если одновременно возбуждено несколько переходов, сработать может любой из них или любая их комбинация. Например, пусть в сети на рисунке 20.1 сработают переходы t1 и t2 . Получим сеть, представленную на рисунке 20.2.

s1 s3

t1 t2

Рис. 20.2 – Новая сеть с маркировкой M

Композиционный подход к построению сетей Петри предполагает возможность построения более сложных сетей из менее сложных составляющих. Для этого вводятся точки доступа, которые позволяют объединять простые сети путем синхронизации событий и состояний (переходов и мест).

Пусть задана сеть N (S, T , F ) и некоторый алфавит Alph . Т-точкой доступа называется набор tid, Alph, , где

1.tid – имя (идентификатор) t -точки доступа;

2.Alph – некоторый алфавит;

3.: T Alph U{ } – пометочная функция, где Alph U Alph . За-

пись Alph обозначает множество всех конечных и непустых мультимножеств, определенных на множестве Alph .

Пусть задана сеть N (S, T , F ) тогда s -точкой доступа сети N называется набор sid, , где

1.sid – имя (идентификатор) s -точки доступа;

2.S – множество такое, что M , M . M M M M .

Введенные понятия точек доступа предоставляют возможность ввести две основные операции над сетями Петри для построения композиционных сетей:

1)операция слияния переходов позволяет порождать и описывать синхронизацию параллельных процессов (tmerge) (рис. 20.3);

177

При слиянии мест определяется набор состояний в сети, которые идентифицируются как состояние сети, определенное именем s – точки доступа. Слияние различных сетей производится так, что если в одной сети достигнуто описанное состояние, то в другой сети это состояние также получается достигнутым; при слиянии переходов определяется алфавит событий, видимых из t – точки доступа. Каждый переход в сети помечается либо невидимым событием, либо комбинацией событий из алфавита точки доступа. Слияние по переходам производится так, что если при срабатывании одной сети возникает некоторая комбинация событий, то эта же комбинация событий происходит во второй сети.

Сети свободного выбора (FC-сети, или freechoice) – сети, у которых каждая дуга, выходящая из позиции, является либо единственным выходом из нее, либо единственным входом в переход. FC-сети используются для описания процессов управления. Для сетей свободного выбора разработан механизм выявления ловушек и тупиков. Необходимым условием живости сети свободного выбора является то, что тупики должны содержать в себе ловушки. Следовательно, данная сеть живой не является. Путем сети называется последовательность переходов и позиций, связанных направленными дугами. Если начало и конец пути совпадают, то такой путь называется циклом. Критерием близости живой сво-

бодной сети является возможность ее покрытия циклами.

Простые сети (SN-сети, или Simplenets) – сети, у которых каждый переход может иметь не более одной общей позиции с другими переходами [2].

Простой сетью Петри называется набор N (S, T , F ) , где

1.S s1, K , sn – множество мест (позиций);

2.T t1, K , tn – множество переходов таких, что S T ;

3.F S T S – отношение инцидентности такое, что

Q1, t1, Q1 , Q2 , t2 , Q2 F: Q1, t1, Q1 Q2 , t2 , Q2 t1 t2 ;

t | Q , t, Q F T .

Условия в пункте 3 говорят, что для каждого перехода t T существует единственный элемент Q , t, Q F , задающий для него входное мультимно-

жество мест Q и выходное мультимножество Q . Дадим определение входному и выходному мультимножеству.

Входное и выходное мультимножества мест и переходов.

Пусть задана сеть N (S, T , F ) .

179

s1 s3

t1 t2

2

t3

Рис. 20.5 – Пример графа сети Петри

Само по себе понятие сети имеет статическую природу. Для задания динамических характеристик используется понятие маркировки сети M S , т. е. функции M: S N0 , сопоставляющей каждому месту целое число. Графически маркировка изображается в виде точек, называемых метками (tokens), и располагающихся в кружках, соответствующих местам сети. Отсутствие меток в некотором месте говорит о нулевой маркировке этого места [3].

20.3 Виды расширенных сетей Петри

Ординарные сети (ON-сети, или Ordinarynets) – сети, которые не имеют ограничений, кроме одного – кратность дуг должна быть не более единицы. Между узлами прокладывается ровно одна связь. Неординарная сеть может быть преобразована в ординарную. Для этого находят максимальную кратность дуг каждого места и производят размножение позиции в соответствии с установленной кратностью. Эти позиции соединяются друг с другом в кольцо, при этом дуги прорезаются своим переходом. Направление дуг является однонаправленным так, чтобы образовывался цикл. Далее восстанавливают связи данной размноженной позиции со всеми переходами. Алгоритм проведения связей жестко не установлен, но связи проводятся так, чтобы они оставались ординарными.

Временные сети Петри (TimePetriNets) – сети, у которых с каждым переходом связывают некоторую длительность (время). Для определенности полагают, что изъятие фишек из входных позиций происходит мгновенно, а передача фишек осуществляется за установленное время. В реальности это может соответствовать работе технических устройств и подразделений организации.