а двух параметров. Предположим, что эти параметры линейно входят в характеристическое уравнение и ему можно придать вид
αP(p) βQ(p) R(p) 0, |
|
|
|
(8.34) |
|
где P(p), Q(p), R(p) – полиномы от |
p; |
α |
и β |
– |
варьируемые |
параметры. |
|
|
|
|
|
Граница D-разбиения в плоскости α |
и |
β |
при p jω |
||
определяется уравнением |
|
|
|
|
|
αP( jω) βQ( jω) R( jω) 0. |
|
|
(8.35) |
||
Обозначим |
|
|
|
|
|
P(ω) P1(ω) jP2(ω), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(8.36) |
Q(ω) Q1(ω) jQ2(ω), |
|
|
|||
R(ω) R (ω) jR (ω), |
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
тогда уравнение (8.35) можно разбить на два уравнения, приравняв раздельно вещественную и мнимую части нулю:
|
|
|
αP1(ω) βQ1(ω) R1(ω) 0, |
(8.37) |
||||||||||||||||
|
|
|
αP2(ω) βQ2(ω) R2(ω) 0. |
(8.38) |
||||||||||||||||
Решая систему уравнений (8.37) и (8.38) относительно α и β, |
||||||||||||||||||||
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
α |
, |
|
|
|
|
|
|
(8.39) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
β |
2 |
, |
|
|
|
|
|
(8.40) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
P1(ω) |
|
Q1(ω) |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
P2(ω) Q2(ω) |
|
|
|
|
||||||||||
– главный определитель системы; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
R1(ω) |
Q1(ω) |
|
; |
|
|
|
|
|
|
P1(ω) |
R1(ω) |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
1 |
|
|
R (ω) |
Q (ω) |
|
|
|
2 |
|
|
|
P (ω) |
R (ω) |
|
||||||
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
||
– частные определители системы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
По этим |
уравнениям для |
каждого |
значения |
частоты ω |
||||||||||||||||
определяют α и β. Исключая промежуточный параметр ω, строят границу D-разбиения в плоскости двух параметров α и β как функцию α f (β). Здесь , 1, 2 – нечетные непрерывные функции ω; P1(ω), Q1(ω), R1(ω) – четные функции ω, а P2(ω),
183
Q2(ω), R2(ω) – нечетные функции ω. Отсюда следует, что α и β – четные функции, т. е. можно ограничиться рассмотрением положительных частот 0 ω .
Граница D-разбиения штрихуется слева при обходе в сторону
возрастающих ω, если главный определитель |
0, и справа, если |
0. Так как граница D-разбиения |
для положительных |
и отрицательных значений ω совпадает, то она штрихуется дважды с одной и той же стороны.
Пример 8.4. Определить область устойчивости для коэффициентов α и β характеристического уравнения
p3 αp2 βp 1 0.
Решение. В этом случае
P(p) p2;Q(p) p; R(p) p3 1.
Уравнение для границы D-разбиения:
αω2 jβω jω3 1 0.
Уравнения для действительной и мнимой частей:
αω2 1 0, βω ω3 0.
Отсюда α 1/ω2, β ω2.
Исключая параметр ω, получаем границу D-разбиения:
Так как α 0,β 0, то |
αβ 1. |
||||||
|
|
|
|||||
|
|
|
|
2 |
0 |
|
3 0. |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
Если |
значение |
α откладывается по горизонтальной оси, |
|||||
а значение |
β – по |
вертикальной оси, то областью устойчивости |
|||||
является область в первом квадранте выше гиперболы αβ 1.
Контрольные вопросы
1.Какие частотные критерии устойчивости вы знаете?
2.Что такое принцип аргумента?
3.Назовите необходимое и достаточное условие устойчивости по критерию Михайлова.
184
4.Назовите условие выхода системы на границу устойчивости по критерию Михайлова.
5.Назовите состояния разомкнутой системы и сформулируйте критерий Найквиста для каждого из них.
6.Каково условие выхода системы на границу устойчивости по критерию Найквиста?
7.Как определяются запасы устойчивости системы?
8.Что такое D-разбиение?
9.D-разбиение по одному параметру.
10.Правила штриховки границы D-разбиения.
185