2 курс ОАУ(ТАУ) [препод. Петунин В.И.] / Лекции / 8

находится на границе устойчивости, имея нулевые корни характеристического уравнения, необходимо и достаточно, чтобы частотный годограф комплексного коэффициента передачи разомкнутой системы W( jω), дополненный в бесконечности, при

выше формулировках критерия Найквиста, имеет некоторую неопределенность. Действительно, трудно сразу сказать, охватывает или не охватывает эту точку частотный годограф W( jω), изображенный на рис. 8.7, а. В сомнительных случаях можно прибегать к помощи формульных записей критерия Найквиста. Лучше, однако, дать критерию Найквиста иную формулировку, основанную на подсчете числа переходов частотного годографа W( jω) через отрицательную действительную полуось от 1 до . Будем считать такой переход положительным, если при возрастании ω годограф переходит из верхней полуплоскости в нижнюю, и отрицательным, если годограф переходит из нижней полуплоскости в верхнюю (рис. 8.7).

Общая формулировка критерия Найквиста охватывает все три рассмотренных выше случая.

Для устойчивости замкнутой системы автоматического регулирования необходимо и достаточно, чтобы разность между числами положительных и отрицательных переходов частотного годографа комплексного коэффициента передачи разомкнутой системы W( jω) через отрицательную действительную полуось от 1 до была равна m/2, где m – число корней характеристического уравнения разомкнутой системы, лежащих в правой полуплоскости. Для систем, находящихся в разомкнутом состоянии на границе устойчивости с нулевыми корнями характеристического уравнения, число m считается равным нулю, а годограф W( jω) берется с дополнением в бесконечности.

173

p(T1p 1)(T2 p 1)

где ω π – частота, на которой годограф пересекает отрицательную действительную полуось. Она может быть получена из уравнения

В рассматриваемом примере числитель передаточной функции W(p) представляет собой действительное число k, поэтому (8.29) удовлетворяется при значениях ω, обращающих в нуль мнимую часть знаменателя W( jω):

Im[ jω π(1 jω πT1)(1 jω πT2)] 0

или

1 T1T2ω2π 0,

откуда

ω2π 1/T1T2.

На этой частоте знаменатель представляет собой действительную величину, равную ω2π(T1 T2), поэтому

|W(jω π)| kT1T2 /(T1 T2),

что при подстановке в (8.28) дает

kкр (T1 T2)/T1T2 1/T1 1/T2.

8.4. Запасы устойчивости. Логарифмический частотный критерий устойчивости

8.4.1. Запасы устойчивости. При проектировании систем стремятся обеспечить их устойчивость с некоторой гарантией, так чтобы изменение параметров в некоторых пределах не могло привести к неустойчивости. Для этой цели используются понятия запасов устойчивости систем автоматического управления, вводимых на основе частотного критерия Найквиста. Запасы устойчивости характеризуют удаление частотного годографа разомкнутой системы W( jω) от критической точки с координатами ( 1, j0). Это удаление определяет запасы устойчивости, которые характеризуются двумя

175

величинами: запасом устойчивости по фазе и запасом устойчивости по амплитуде.

Запас устойчивости по фазе определяют как величину углаπ | (ωc)| для частоты среза ωc, при которой |W(jωc)| 1.

Запас устойчивости по амплитуде определяют как величину отрезка оси абсцисс h, заключенного между критической точкой ( 1, j0) и амплитудно-фазовой характеристикой (рис. 8.8, а).

С ростом коэффициента усиления разомкнутой системы модуль амплитудно-фазовой характеристики также растет и при некотором значении коэффициента усиления k kкр , называемого критическим

коэффициентом усиления, амплитудно-фазовая характеристика пройдет через точку ( 1, j0), т. е. система будет на границе устойчивости. При k kкр система будет неустойчива.

Величина kкр зависит от структуры системы, а также от

остальных параметров системы. Возможны случаи, когда система будет неустойчивой при любых значениях параметров, и ее можно сделать устойчивой, лишь изменив ее структуру. Такие системы называются структурно неустойчивыми. К структурно неустойчивым относятся, в частности, системы, содержащие два интегрирующих звена.

Запасы устойчивости обычно определяют по логарифмическим частотным характеристикам (рис. 8.8, б).

Рис. 8.8. Определение запасов устойчивости

176

Из критерия Найквиста следует, что устойчивая в разомкнутом состоянии система будет устойчивой и в замкнутом состоянии, если сдвиг по фазе на частоте среза не достигает величины π.

8.4.2. Логарифмический частотный критерий устойчивости.

разомкнутой системы, при которых обеспечивалась бы устойчивость системы в замкнутом состоянии.

Как было показано выше, устойчивость связана с числом переходов амплитудно-фазовой характеристики W( jω) отрезка ( , 1) отрицательной вещественной полуоси. Когда амплитуднофазовая характеристика W( jω) пересекает отрицательную вещественную полуось, ЛФХ пересекает одну из линий (2i 1), где i 0,1, 2, (рис. 8.9). Переходы через эти линии не опасны с точки зрения устойчивости, если они совершаются справа от точки ( 1, j0), т. е. если при этом модуль амплитудно-фазовой характеристики меньше единицы |W( jω)| 1 и, следовательно, если ординаты ЛАХ отрицательны, т. е. L(ω) 20lg |W( jω)| 0. Поэтому область отрицательных ЛАХ при исследовании устойчивости интереса не представляет.

Рис. 8.9

177

Положительному переходу (сверху вниз) через отрезок ( , 1) характеристики W( jω) соответствует пересечение ЛФХ при L(ω) 0 прямых (2i 1) снизу вверх (точка 2 на рис. 8.9), а отрицательному

сформулирован следующим образом: для того чтобы система

число правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы.

На рис. 8.9 приведены для примера амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы W( jω) и соответствующие ей ЛАХ и ЛФХ. Из анализа этих ЛАХ и ЛФХ видно, что разность между числом положительных и отрицательных переходов ЛФХ прямых π при L(ω) 0 равна нулю. Таким образом, если разомкнутая система была устойчива (m 0), то и замкнутая система будет устойчива, при этом запасы устойчивости по амплитуде равны h1 и h2, а запас устойчивости по фазе равен .

8.5.Метод D-разбиения

8.5.1.Понятие о D-разбиении. При исследовании устойчивости большое практическое значение имеет построение областей устойчивости в плоскости одного или нескольких параметров, влияние которых на устойчивость исследуют. Уравнение границ областей устойчивости можно находить, пользуясь любым критерием устойчивости. Однако чаще всего на практике применяют наиболее общий метод построения областей устойчивости, который был предложен Ю. И. Неймарком и назван им методом D-разбиения.

Методом D-разбиения называют разбиение пространства параметров (или коэффициентов) на области с различным распределением корней характеристического уравнения. Области

178

обозначаются через D(m), где m – число корней уравнения в правой полуплоскости. Среди всех областей D-разбиения лишь одна D(0) является областью устойчивости.

Знание области устойчивости в пространстве параметров системы, особенно, если эти параметры относятся к числу

Ю. И. Неймарк предложил способы получения D-разбиения для одного и двух параметров, входящих линейно в характеристическое уравнение.

8.5.2. D-разбиение по одному параметру. Рассмотрим характеристическое уравнение замкнутой системы

D(p) a0 pn a1pn 1 ... an 1p an 0,

имеющее n корней, расположение которых на комплексной плоскости зависит от численных значений коэффициентов ai.

Предположим, что требуется выяснить влияние на устойчивость какого-либо параметра α, линейно входящего в характеристическое уравнение. Для этого сначала характеристическое уравнение приводят к виду

где P(p) и Q(p) – полиномы, не зависящие от параметра α. Границы D-разбиения определяются уравнением

D( jω) P( jω) αQ( jω) 0,

так как границей между правой и левой полуплоскостями является мнимая ось, на которой p jω при ω .

Решая уравнение относительно α, найдем выражение для границы D-разбиения

При этом параметр α оказывается комплексным. Поскольку параметры в линейных системах являются не комплексными, а вещественными, то последнее уравнение необходимо дополнить условием

Y(ω) 0.

179

Для построения границы D-разбиения на комплексной плоскости достаточно построить ее для положительных значений ω: 0 ω , а затем построенный участок дополнить зеркальным отображением построенного участка относительного действительной оси (рис. 8.10).

а б

Рис. 8.10. D-разбиение по одному параметру

Если при изменении ω от до в плоскости корней p двигаться по мнимой оси и штриховать ее слева, то такому движению в плоскости α соответствует движение по границе D-разбиения, которую также штрихуют слева по обходу при изменении ω от до .

Если в плоскости v пересекать границу D-разбиения по направлению штриховки (стрелка 1, рис. 8.10, а), то в плоскости корней один корень переходит из правой полуплоскости в левую (стрелка 1, рис. 8.10, б). Если же в плоскости v пересекать границу D- разбиения против штриховки (стрелка 2, рис. 8.10, а), то в плоскости корней один корень переходит из левой полуплоскости в правую

(стрелка 2, рис. 8.10, а).

Для определения области D(m), и в частности области устойчивости D(0), достаточно знать распределение корней, т. е. число правых и левых корней при каком-либо одном произвольном значении параметра α α0. Переходя в плоскости α от этого параметра к любому другому, по числу пересечений границы D- разбиения, направлению и числу штриховок можно определить D(m) в любой другой точке.

180

Претендентом на область устойчивости является область, внутрь которой направлена штриховка. Чтобы установить, является ли эта область действительно областью устойчивости, необходимо задаться каким-либо значением α0, лежащим в этой области. Подставив α0 в характеристическое уравнение, нужно, используя любой критерий устойчивости, установить, все ли корни характеристического уравнения будут при этом левыми. Если при этом не все корни будут левыми, то области устойчивости нет, т. е. изменением только параметра α нельзя сделать систему устойчивой.

Так как изменяемый параметр является вещественным числом, то из полученной области выделяют только отрезок устойчивости, т. е. отрезок вещественной оси, лежащий в области устойчивости, например отрезок АБ.

Пример 8.3. Пусть дано характеристическое уравнение

коэффициент усиления. Требуется определить значения k, при которых система устойчива.

Решение. Для решения задачи построим границу D-разбиения в плоскости комплексного параметра k и будем интересоваться лишь разбиением действительной оси, т. е. действительными значениями k.

Из (8.31) следует, что граница D-разбиения соответствует

уравнению

α k 1 jωT1 1 j T2 1 j T3 X( jω) jY(jω). (8.33)

Здесь

X(ω) (T1T2 T1T3 T2T3)ω2 1;

Y(ω) T1T2T3ω3 (T1 T2 T3)ω.

181