2 курс ОАУ(ТАУ) [препод. Петунин В.И.] / Лекции / 9 (1)

9. ОПТИМАЛЬНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ

9.1. Синтез линейных систем с минимальной средней квадратической ошибкой

служащую для усиления и преобразования управляющего полезного

преобразование в общем случае производится в соответствии с

Рис. 9.1

В общем случае система должна возможно более точно воспроизводить на своем выходе не само управляющее воздействие

В системах, находящихся под воздействием случайного (или регулярного) полезного сигнала и случайной помехи, возникает задача отделения полезного сигнала от помехи и подавления (фильтрации) последней. Эту задачу называют задачей фильтрации

или сглаживания.

Введение преобразующего оператора H ( p) обобщает задачу не только на обычные следящие системы, у которых Z (t) = G(t) (т. е.

преобразования управляющего сигнала. В зависимости от вида оператора H ( p) задача фильтрации сочетается с задачей

222

случае преобразующий оператор H ( p) может быть произвольным.

Идеальное преобразование полезного сигнала в соответствии с (9.1) невозможно из-за динамических ошибок системы, а также из-за наличия возмущающих воздействий (помех). Поэтому выходной

называют случайной ошибкой системы.

Синтез систем при случайных воздействиях заключается в определении динамических характеристик системы, наилучшим образом обеспечивающих выполнение некоторого статистического критерия оптимальности. Существуют различные статистические критерии оптимальности. Однако наиболее часто за статистический критерий оптимальности принимают критерий минимума средней квадратической ошибки

где ε(t) – любая реализация случайной ошибки.

В этом случае задача синтеза состоит в том, чтобы найти такую физически реализуемую оптимальную передаточную функцию замкнутой системы Wопт ( p) , при которой было бы минимальным

среднее значение квадрата ошибки

Согласно критерию средней квадратической ошибки, оценка точности системы производится в зависимости от среднего, а не мгновенного значения ошибки, что не всегда является достаточным, например тогда, когда требуется, чтобы ошибка не выходила за заданные пределы. Применение этого критерия может оказаться нерациональным и в тех случаях, когда требования к величине ошибки в разные моменты времени неодинаковы.

Однако, несмотря на то, что этот критерий, впрочем, как и всякий другой косвенный критерий, не является универсальным, он благодаря своей простоте получил широкое практическое

223

применение.

При воздействии на систему не коррелированных между собой стационарного случайного сигнала и помехи среднее значение

теоретически соответствующим выбором параметров передаточной функции (полосы пропускания) системы можно было бы обеспечить любую точность систем. Однако при одновременном действии полезного сигнала и помехи точность системы не может быть любой.

Это наглядно видно из рис. 9.2, где изображены графики

Рис. 9.2

уменьшения составляющей ошибки ε g2 система должна иметь

возможно больший коэффициент усиления. Однако, для того чтобы лучше подавлять помеху F (t) , т. е. уменьшить составляющую

224

параметры системы (в данном случае Kопт ), при которых среднее

значение квадрата ошибки будет минимальным, меньше которого его, при заданных статистических характеристиках управляющего сигнала и помехи, никаким изменением параметров сделать нельзя.

Взависимости от вида графиков спектральной плотности управляющего сигнала и помехи способы решения задачи синтеза при случайных воздействиях могут быть различны.

Впростейшем случае, когда спектры частот полезного сигнала

требуемой точности воспроизведения управляющего сигнала и в то же время достаточно узкой для того, чтобы система меньше реагировала на помеху.

Если управляющий сигнал имеет спектр частот, очень быстро убывающий с возрастанием частоты, а спектр помех близок к белому шуму (рис. 9.3, б), то в этом случае форма амплитудно-частотной

Наиболее общим является случай, когда спектры частот полезного сигнала и помехи накладываются друг на друга и имеют произвольную форму (рис. 9.3, в). В этом случае при синтезе систем со случайными воздействиями различают два вида задач:

1.Синтез при заданной структуре системы управления, когда добиваются минимума средней квадратической ошибки, выбирая оптимальные параметры корректирующих звеньев системы на основании известных статистических характеристик полезного сигнала и помехи.

2.Синтез при произвольной структуре системы управления, когда по заданным статистическим характеристикам полезного сигнала и помехи определяют оптимальную структуру и параметры системы, при которых обеспечивается минимум средней квадратической ошибки.

225

а

б

в

Рис. 9.3

9.1.2. Синтез при заданной структуре системы. В этом случае задача синтеза формулируется следующим образом. Заданы: статистические характеристики полезного сигнала и помехи,

квадратической ошибки.

Эта задача решается следующим образом: зная спектральные

226

средней квадратической ошибки.

Как правило, большинство параметров системы изменять трудно либо невозможно, так как они определяются заданными техническими или конструктивными соображениями. Поэтому обычно варьируют два-три параметра, например постоянные времени корректирующих звеньев, коэффициент усиления разомкнутой системы и др. Если число переменных n невелико, то отыскание экстремума функции не вызывает затруднений. При большом числе n , когда явное выражение среднего значения квадрата ошибки через параметры системы определить затруднительно, либо оно слишком громоздко, используют приближенные методы отыскания минимума выражения (9.5) путем числового задания интересующих параметров и построения соответствующих графиков.

Параметры системы, выбранные по критерию минимума средней квадратической ошибки, оценивают затем исходя из возможности их технической реализации и допустимых динамических показателей системы (времени регулирования, наличия и величины перерегулирования и т. д.).

Заметим, что указанная выше методика выбора оптимальных параметров системы может применяться и при одновременном воздействии на систему регулярных и случайных сигналов.

9.1.3. Синтез при произвольной структуре системы. Эта задача впервые была поставлена и решена А. Н. Колмогоровым и

227

являются стационарными случайными процессами с равными нулю средними значениями. Если полезный сигнал и помеха приложены к разным входам, то методом эквивалентных преобразований их всегда можно привести к одному входу.

Таким образом, суммарный сигнал на входе системы будет равен

U (t) = G(t) + F (t) .

Выходной сигнал системы X (t) связан с входным сигналом U (t) уравнением

X (t) = W ( p)U (t) = W ( p)[G(t) + F (t)],

где W ( p) – передаточная функция замкнутой системы.

Допустим, что система должна воспроизводить некоторую функцию от управляющего сигнала.

Z (t) = H ( p)G(t) .

Ошибка воспроизведения равна

E(t) = Z (t) − X (t) .

Задача синтеза в случае произвольной структуры линейной системы состоит в том, чтобы при известных статистических характеристиках полезного сигнала и помехи найти такую физически реализуемую оптимальную передаточную функцию замкнутой системы Wопт ( p) при которой среднее значение квадрата

суммарной ошибки было бы минимально, т. е.

(алгоритм преобразования) H ( p) . Решение проведем для

упрощенного, но часто встречающегося случая, когда полезный сигнал и помеха некоррелированы.

Выражение для любой реализации случайной суммарной ошибки можно записать следующим образом:

ε(t) = z(t) − x(t) = H ( p)g (t) −W ( p)u(t) =

=[H ( p)] −W ( p)]g(t) −W ( p) f (t) .

228

Выражение для спектральной плотности ошибки

Sε (ω) =| H ( jω) −W ( jω) |2 Sg (ω)+ | W ( jω) |2 S f (ω),

а среднее значение квадрата ошибки

Основная трудность в минимизации выражения (9.7) связана с учетом условий физической осуществимости передаточной функции системы Wопт ( p) . Найдем сначала Wопт ( p) без учета этого условия, а

вычислим

| H ( jω) −W ( jω) |2 = H 2 (ω) + A2 (ω) − 2H (ω) A(ω) cos[ψ(ω) − (ω)].

Тогда (9.7) принимает вид

вариационная задача, решаемая, например, с помощью уравнений Эйлера.

Тогда (9.8) примет вид

229

Поскольку все члены в последнем подынтегральном выражении положительны, то минимум среднего значения квадрата ошибки будет при минимальном значении функции Q.

Приравнивая dQ / dA(ω) = 0 , получаем

Как следует из (9.11), единственными статистическими характеристиками полезного сигнала и помехи, необходимыми для определения оптимальной частотной передаточной функции замкнутой системы, являются их спектральные плотности.

Однако оптимальная частотная передаточная функция, определяемая (9.11), оказывается в общем случае физически нереализуемой. Это можно показать на частном простейшем примере. Пусть решается задача воспроизведения, т. е. H ( jω) = 1, и пусть

раскладывается на комплексные множители, один из которых всегда будет иметь полюсы в нижней полуплоскости корней. Импульсная переходная функция w(t) , найденная для такой частотной

230

передаточной функции, будет существовать и для отрицательных значений времени t 0 , т. е. до начала переходного процесса (до приложения возмущения). Это и свидетельствует о нереализуемости

( jω) .

Условием физической реализуемости является выполнение равенства w(t) = 0 при t 0 ; в этом случае Wопт ( jω) будет иметь все полюсы в верхней полуплоскости корней, а соответствующая ей передаточная функция Wопт ( p) будет иметь только левые корни.

Это выражение соответствует последовательному соединению двух инерционных звеньев, одно из которых неустойчиво и в практических устройствах не может быть реализовано. Это становится особенно ясно при переходе от Wопт ( jω) к весовой

функции:

Рис. 9.4

График реакции системы wопт (t) на единичный импульс δ(t)

(рис. 9.4, а) в этом случае показан на рис. 9.4, б. Как видно из графика, для реализации требуемой весовой функции необходимо,

231