ТФКП лекции 1-6

По определению C-дифференцируемости функции f в точке z0 имеем:

f(z) = p1(z) + !(z; z0)(z z0);

где p1(z) = f(z0) + f0(z0)(z z0) – полином, а !(z; z0) ! 0 при z ! z0.

Фиксируем произвольное " > 0. Найдется окрестность U G точки z0 такая, что z 2 U если и только если j!(z; z0)j < ". Начиная с некоторого j, все j лежат в U, так что для этих j, пользуясь Следствием5.6 и Свойством (4) интегралов вдоль

Определение. Скажем, что функция f удовлетворяет условию треугольника в области G, если f непрерывна в G и для всякого треугольника c условием

R

G выполняется @+D f dz = 0. Тот факт, что функция f удовлетворяет условию треугольника в G будем обозначать f 2 T C(G).

Из леммы Гурсы вытекает, что если A(G) T C(G) (т.е. всякая голоморфная в G функция удовлетворяет условию треугольника в G).

Теорема Коши для односвязной области.

Определение. Область G в C называется односвязной по Жордану, если для любой замкнутой жордановой кривой с носителем в G область D( ) (ограниченная кривой по теореме Жордана) целиком лежит в G.

Замечание. Имеется несколько эквивалентных определений односвязной области, одним из которых и является приведенное определение односвязности по Жордану. Здесь и далее, под односвязной областью понимается область, односвязная по Жордану. Позднее мы приведем другие определения односвязности и докажем их эквивалентность.

5.8.Утверждение-задача. Если область G в C такова, что ее граница @CG

(взятая в C) связна в C, то G – односвязна.

5.9.Теорема Коши для односвязной области. Если область G односвязна, а функция f 2 T C(G) (т.е. f удовлетворяет условию треугольника в G), то для

любой замкнутой спрямляемой кривой с носителем в G имеет место равенство

R

f(z) dz = 0.

Доказательство. Во первых заметим, что утверждение теоремы справедливо, если – замкнутая жорданова ломаная. Доказываем по индукции с применением леммы Гурсы и следующего элементарного геометрического факта: найдутся две не соседние вершины a и b ломаной с тем условием, что (открытый) интервал

треугольников, которые в свою очередь равны нулю по лемме Гурсы.

Во-вторых, утверждение теоремы справедливо, если – произвольная замкнутая ломаная в G. Для доказательства достаточно воспользоваться предыдущим утверждением и следующим фактом. Для произвольной замкнутой ломаной

Таким образом доказательство леммы, а вместе с ним и доказательство теоремы 5.9 завершено.

Из Теоремы 5.9 тривиально выводится следующее утверждение.

5.10. Следствие. Пусть G и f такие, как в условиях Теоремы 5.9. Тогда, если 1 и 2 – две спрямляемые кривые в G с одинаковыми началами и концами

RR

соответственно, то 1 f(z) dz = 2 f(z) dz.

Задача. Доказать, что для всякого многоугольника (ограниченного замкнутой жордановой ломаной, не обязательно выпуклого) найдутся 3 последовательные вершины такие, что определяемый ими треугольник целиком лежит в исходном многоугольнике.

Задача. Доказать, что если – некоторая замкнутая ориентированная ломаная в C, а f непрерывна на ее носителе [ ], то существуют замкнутые жордановы ломаные 1; : : : ; n с носителями в [ ] такие, что

Zn Z

удовлетворяющая 0(z) = 1=z. Следовательно, L = const в B. Отсюда легко следует, что E не пусто, открыто и замкнуто в G, т.е. E = G.

Искомая ветвь корня степени n в G имеет вид V (z) = exp (L(z)=n). В силу правила дифференцирования сложной функции (см. теорему 2.4):

L(z)

Интегральная теорема Коши

Введем понятия допустимой области, ее ориентированной границы и интеграла вдоль ориентированной границы допустимой области.

Пусть D1; : : : ; DJ – жордановы области в C (J 2 – натуральное число) с ориентированными границами @+D1; : : : ; @+DJ соответственно. Предположим, что

замыкания D2; : : : ; DJ областей D2; : : : ; DJ попарно не пересекаются и целиком содержатся внутри D1. При сделанных предположениях множество

связно, т.е. всегда является областью. Проверка этого несложного факта (которая сводится к проверке линейной связности D) оставляется в качестве задачи.

Определение. Множества D описанного выше вида будем называть допустимыми областями ранга J.

Замечание: ясно, что любая жорданова область является допустимой. При этом ее ранг считается равным 1.

SJ

Из теоремы Жордана следует, что @D = j=1 @Dj, поэтому указанное представление множества D, если оно существует, единственно с точностью до порядка нумерации областей Dj при s 2. Следовательно, определение ранга допустимой области корректно.

Далее, сформулируем следующее

Определение. Ориентированной (положительно ориентированной) границей допустимой области D ранга J 2 называется совокупность (цепочка) границ:

@+D := f@+D1; @ D2; : : : ; @ DJ g:

Для f : @D ! C интеграл от f вдоль (или по) @+D определяется по формуле:

при условии, что все интегралы справа определены.

Задача. Дать определение спрямляемости и длины `(@D) границы для допустимой области D в C.

Определение. Пусть E C. Будем говорить, что функция f голоморфна на E, если существует открытое множество U, содержащее E, такое, что f определена

иC-дифференцируема всюду в U.

6.4.Утверждение-задача. Если D – область в C и f 2 Hol(D), то найдется область G, такая, что D G и f 2 Hol(G).

6.5. Интегральная теорема Коши. Пусть D – допустимая область в C со спрямляемой границей, f 2 Hol(D). Тогда

Z

@+D

6.6.Доказательство интегральной теоремы Коши. Будем рассуждать по индукции по рангу J допустимой области D. Пусть сначала J = 1, т.е. область D – жорданова. Этот случай по теореме 5.9 сводится к следующей лемме.

6.7.Лемма. Пусть D – жорданова область, U – открытое множество, содержащее D. Тогда найдется односвязная область G с условиями D G U.

Доказательство. Воспользуемся следующим утверждением, непосредственно вытекающим из определения односвязности по Жордану: пусть G1; : : : ; GN – конечное семейство односвязных областей в C и G – какая-либо непустая компонента связности их пересечения, тогда G – односвязная область.

Пусть B – некоторый (открытый) круг, содержащий D. Будем считать, что B не содержится в U, иначе G = B дает нужный ответ. Для каждой точки a 2 B n U пусть da = dist(a; D), Ba = B(a; 12 da). При Ba B пусть La – носитель какой-либо

жордановой ломаной, соединяющей @Ba и @B в B n D (причем кроме концов вся

Продолжение индукции. Предположим, что при J 2 теорема доказана для всех допустимых областей D ранга J 1 со спрямляемой границей и для всех функций f 2 Hol(D).

Пусть теперь

J

[

D = D1 n Dj

j=2

– допустимая область ранга J, имеющая спрямляемую границу

@+D = f@+D1; @ D2; : : : ; @ DJ g;

а функция f – голоморфна на некотором открытом множестве U, содержащем D. Мы должны установить равенство (6.1).

Положим K1 = @D1, K2 = @Dn@D1. Из непрерывности функции d(z; w) = jz wj на компакте K1 K2 следует, что существуют z1 2 K1 и z2 2 K2, ближайшие друг к другу, т.е. такие, что jz1 z2j = dist(K1; K2). Без ограничения общности будем считать, что z2 2 @D2.

Построение “коридора”. Всюду в этом пункте параметр j принимает значения 1 и 2 (т.е. все условия и построения одновременно выполняются для обоих значений j).

Выберем и зафиксируем какие-либо (замкнутые жордановы спрямляемые) путиj : [ j; j] ! C из @+Dj с условиями j( j) 6= zj.

Выберем d 2 (0; 14 jz1 z2j), удовлетворяющее условиям: B(zj; d) U и d <

j j( j) zjj.

Пусть aj – точка на отрезке [z1; z2] такая, что jaj zjj = d. Мы находимся в условиях конструкции локального закругления жорданова пути (см. выше), т.е. при = j, a = aj, < d определен путь j(aj; ) и соответствующие параметры

t0j, t j, t+j и zj = j(t0j). Пусть j – сужение пути j на [t j; t+j]. Теперь фиксируемтак, чтобы [ j ] B(zj; 12 d).

Пусть j – сужение пути j(aj; ) на [t j; t+j]. Напомним, что параметризация на

(a1 2 D1), а 2 – против часовой стрелки (a2 2= D2), так что отрезки [b1; b2] и [c2; c1] не пересекаются. Построение “коридора” закончено.

Окончание доказательства интегральной теоремы Коши. Пусть теперь

D1 – область, ограниченная 1. Докажем, что Dj D1 при j 3 (если таковые есть). По теореме 5.3 для этого достаточно проверить, что indw( 1) = 1 для любого

w 2 Dj при j 3. Обозначим через открытый криволинейный четырехугольник, ограниченный [b1; b2], f 2"g, [c2; c1] и f 1"g . Согласно утверждению задачи 1.9 имеем:

Замечание: на самом деле имеет место намного более общий вариант последней теоремы:

6.8. Усиленная интегральная теорема Коши. Пусть D – допустимая об-

R

ласть со спрямляемой границей, f 2 Hol(D) \ C(D). Тогда @+D f dz = 0.

6.9.Задача. Доказать справедливость утверждения теоремы 6.8 В случае, когда D – круг или кольцо.

6.10.Утверждение-задача. Если – замкнутая спрямляемая кривая, не

проходящая через точку a 2 C, то

6.11. Утверждение-задача. Интегралом типа Коши называется интеграл вида

Z

F (z) = f( ) d ;

z

где – спрямляемая кривая, а функция f – непрерывна на ее носителе [ ]. Доказать, что функция F голоморфна вне [ ] и F (1) = 0. Найти F 0(1).

Интегральная формула Коши и ее следствия

6.12. Теорема (интегральная формула Коши). Пусть D – допустимая область со спрямляемой границей, f 2 Hol(D). Тогда для любой точки a 2 D спра-

Доказательство. Фиксируем a 2 D и пусть d = dist(a; @D). При 2 (0; 12 d)

положим D = D n B(a; ), + = @+B(a; ). Тогда D – допустимая область со спрямляемой границей, а функция f(z)(z a) 1 2 Hol(D ). По интегральной тео-

Поскольку последний интеграл не зависит от (это следует из интегральной теоремы Коши, примененной к функции f(z)(z a) 1 в круговых кольцах с центром

то требуемое утверждение вытекает из следующей оценки:

6.13. Теорема о среднем. Пусть R 2 (0; +1), а функция f 2 Hol(B(a; R)). Тогда

f(a) = 1 Z f(a + Reit) dt:

2

Доказательство. По интегральной формулы Коши:

где T (a; R) = @+B(a; R). Остается вычислить последний интеграл с помощью стан-

6.14. Теорема (принцип максимума модуля). Пусть D – произвольная ограниченная область в C, функция f 2 Hol(D) \ C(D). Тогда для любой точки a 2 D имеем

При этом, если для некоторого a 2 D неравенство (6.3) обращается в равенство, то функция f(z) постоянна в D.

Замечание: утверждение последней теоремы остается верным, если D – область в C, содержащая точку 1.

Доказательство. Напомним, что непрерывная на компакте функция достигает на нем своего максимального значения.

Для доказательства теоремы нам достаточно установить, что если найдется точка a 2 D с условием jf(a)j max@D jf(z)j, то функция f – постоянна. Пусть такая точка a существует. Без ограничения общности мы можем предположить, что M = maxD jf(z)j = jf(a)j (проверка этого факта оставляется в качестве упражнения). Положим E = fz 2 D : jf(z)j = Mg. Ясно, что E 6= ? и, что множество E замкнуто в D (это непосредственно вытекает из непрерывности функции f). Открытость множества E может быть легко выведена из теоремы о среднем (это доказательство также оставляется к качестве обязательного упражнения). Из связности D получаем, что E = D. Итак, jf(z)j M всюду на D. Остается доказать, что f0(z) = 0 всюду в D. Случай M = 0 тривиален, пусть далее M 6= 0. Если, от противного, существует b 2 D с условием f0(b) 6= 0, то из определения C-дифференцируемости получаем, что f(z) = f(b) + f0(b)(z b) + o(z b), так что jf(z)j не может быть постоянным ни в какой окрестности точки b. Противоречие. Случай 1 2 D также оставляется в качестве упражнения.

Задача. Пусть D – произвольная ограниченная область в C, а функция f 2 Hol(D), причем все предельные значения функции jf(z)j на @D изнутри D не превышают некоторой константы M 2 [0; +1). Тогда для любого z 2 D имеет место неравенство jf(z)j M.

6.15. Основная теорема алгебры. Пусть P (z) = anzn + + a1z + a0 –

произвольный многочлен комплексного переменного z, причем an 6= 0. Тогда P имеет в C ровно n корней с учетом их кратности.

Доказательство. Пусть n 1. По индукции и при помощи теоремы Безу для доказательства теоремы нам надо доказать, что P имеет в C хотя-бы один корень. Пусть, от противного, P (z) 6= 0 при всех z 2 C. Тогда функция f(z) = 1=P (z) – целая (т.е. f голоморфна всюду в C). Поскольку jP (z)j ! +1 при z ! 1, мы получаем, что jf(z)j ! 0 при z ! 1. Применяя принцип максимума модуля для функции f в кругах достаточно большого радиуса с центром в точке 0, получаем, что f(0) = 0. Противоречие.

Замечание: в завершении доказательства основной теоремы алгебры можно было применить теорему о среднем для функции f в кругах большого радиуса с центром в нуле и получить аналогичное противоречие.

6.16. Теорема (формула Коши для производных и бесконечная дифференцируемость голоморфных функций). Пусть D – допустимая область со спрямляемой границей, а функция f 2 Hol(D). Тогда для любых k 2 N0 и a 2 D справедлива формула: