Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

ТФКП ДЗ1

.pdf
Скачиваний:
14
Добавлен:
10.02.2015
Размер:
236.15 Кб
Скачать

Комплексный анализ Домашнее задание №1,часть1 для студентов факультета ФН

4семестр, 2013/2014

Задача №1.

Комплексные числа,геометрия комплексной плоскости.

1.1. а)Вычислить и б)Найти все значения соответствующего выражения:

В-1.а)

 

1 1 i 3!

 

, б )

 

 

p3 + i;

 

 

+ ip

 

 

 

5

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

В-2.а)

 

 

 

 

 

7

 

 

 

 

 

 

 

1 2i

 

, б )p3 −1 + i; ;

 

 

2 + i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

+ i

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В-3.а)

 

3

 

!

, б )p4 −2 − 2i;

 

1 + i

 

В-4.а)

1 + 3i

 

5

, б )p

1 + p

 

 

.

 

 

1 − 2i

 

 

 

 

 

4

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

1.2. Пусть (z, w) хордальное расстояние между точками z 2 C и w 2 C (т.е. евклидово расстояние в R3 между прообразами этих точек при стереографической проекции).Проверить справедливость формул

(z, w) =

 

|z − w|

(z = , w = ),

(z, ) =

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и описать

 

 

 

p

p

6 1 6 1

1

p

1 + |z|2

 

 

 

 

 

 

1 + |z|2 1 + |w|2

 

 

 

множества точек комплексной плоскости,задаваемые соотношениями:

В-1.

(z, 0) < R, R 2 (0, 1);

 

 

 

 

 

В-2.

(z, 1) < R, R 2 (0, 1);

 

 

 

 

 

В-3.

p

2

(z, i) > 1;

 

 

 

 

 

В-4.

1 < 2 (z, 1) < p

 

.

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

1.3. Выяснить,какие множества точек комплексной плоскости удовлетворяют неравенствам:

В-1. |z − i| + |z + i| < 4;

В-2. 0 < arg iz+zi < 2 ;

В-3. 4 < arg(z + i) < 2 ;

В-4. Re z4 > Im z4.

Задача №2.

Голоморфные функции.Условия Коши–Римана.

2.1.

В-1.

В-2.

В-3.

В-4.

Выяснить,где голоморфны следующие функции и найти их производные:

z cos z

;

 

 

 

 

1 + z2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

;

 

 

 

 

 

tg z + ctg z

 

 

 

cos z

;

 

z

 

sin z

cos z

 

 

 

 

e

+ 1

.

 

 

 

ez − 1

 

 

 

 

2.2. Проверить,что заданная функция может быть вещественной(мнимой) частью голоморфной всюду в C функции f.Найти соответствующую функцию f.

В-1. Re f = x3 + 6x2y − 3xy2 − 2y3, f(0) = 0;

1

В-2. Re f = ex(x cos y − y sin y), f(0) = 0;

В-3. Re f = x cos x cosh y + y sin x sinh y, f(0) = 0; В-4. Im f = y cos y cosh x + x sin y sinh y, f(0) = 0.

2.3. Пусть функция f = u + iv является C-дифференцируемой в точке z0 = x0 + iy0.Доказать справедливость формул:

В-1. f0(z0) = u0x(x0, y0) + ivx0 (x0, y0); В-2. f0(z0) = vy0 (x0, y0) − iu0y(x0, y0); В-3. f0(z0) = u0x(x0, y0) − iu0y(x0, y0); В-4. f0(z0) = vy0 (x0, y0) + ivx0 (x0, y0).

Проверить вычисления в п. 2.1при помощи этих формул.

Задача №3.

Элементарные функции комплексного переменного и их свойства

3.1.Решить следующие уравнения(ответы представить в экспоненциальной, тригонометрической и алгебраической формах):

В-1. e2z + e−2z − 3 = 0;

В-2. sinh iz = −i;

В-3. eix = cos x, x 2 R;

В-4. ln(z + i) = i.

3.2.a)Найти коэффициент растяжения и угол поворота при отображении

w = f(z) в точках z1 и z2,и б)Выяснить,какая часть комплексной плоскости растягивается,а какая сжимается при следующих отображениях:

В-1.а) f(z) = ez, z1 = ln 2 + i 4 , z2 = −1 − i 2 , и б )w = ln z; В-2.а) f(z) = sin z, z1 = 0, z2 = 1 + i, и б )w = z3;

В-3.а) f(z) = z3, z1 = 2 − i, z2 = 1 + i 2 , и б )w = ln z; В-4.а) f(z) = cosh z, z1 = 1 − i, z2 = 1, и б )w = 1/z;

 

Распределение вариантов

 

 

 

 

 

 

 

№ по списку

Зад.1

Зад.2

Зад.3

 

1,17

1,2,3

4,3,2

 

1,1

 

2,18

2,3,4

3,2,1

 

1,2

 

3,19

3,4,1

2,1,4

 

1,3

 

4,20

4,1,2

1,2,3

 

1,4

 

5,21

1,2,3

4,3,2

 

2,1

 

6,22

2,3,4

3,2,1

 

2,2

 

7,23

3,4,1

2,1,4

 

2,3

 

8,24

4,1,2

1,2,3

 

2,4

 

9,25

1,2,3

4,3,2

 

3,1

 

10,26

2,3,4

3,2,1

 

3,2

 

11,27

3,4,1

2,1,4

 

3,3

 

12,28

4,1,2

1,2,3

 

3,4

 

13,29

1,2,3

4,3,2

 

4,1

 

14,30

2,3,4

3,2,1

 

4,2

 

15,31

3,4,1

2,1,4

 

4,3

 

16,32

4,1,2

1,2,3

 

4,4

2

Комплексный анализ Домашнее задание №1,часть2 для студентов факультета ФН

4семестр, 2013/2014

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача №4.

 

 

 

 

 

 

 

Интегрирование функций комплексного переменного.

 

 

 

 

4.1.

Вычислить интеграл:

 

 

 

 

 

 

 

 

Z"

dz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В-1.

p4

z34, где # верхняя половина окружности {|z| = 1} и берется та

ветвь функции p

 

для которой p4

 

= 1;

 

 

 

 

 

 

 

z3

1

 

 

 

 

 

 

 

В-2.

Z"

ln(z + 1)

dz, где # соединяющая точки 1

и i дуга окружности |z| = 1,

 

 

 

 

 

z + 1

лежащая в первом квадранте;

 

 

 

 

 

 

 

В-3.

Z"

ln z

dz, где # отрезок прямой , соединяющей точки1 и i;

 

 

 

 

z

 

Z"

dz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В-4.

p

 

,

где # верхняя половина окружности |z|

= 1, проходимая от

z

точки −1 до точки 1,а ветвь корня выбрана условием

p

 

 

 

p

 

(1 − i).

−i

=

 

2

 

2

4.2.

Применив интегральную формулу Коши(или интегральную формулу Ко-

ши для производных)вычислить интегралы: (считать все окружности положитель-

но ориентированными):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В-1. a) Z|z|=1

 

 

ez

 

 

 

dz, б )Z|z|=2

 

z sinh z

dz;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z2 + 2z

(z2 − 1)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В-2. a) Z|z|=2

 

 

sin(iz)

 

 

 

dz, б )Z|z−3|=6

 

 

z dz

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z2 − 4z + 3

(z − 2)3(z + 4)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В-3. a) Z|z|=3

cos(z + i)

dz, б )Z|z−2|=1

 

e1/z

 

dz;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z(ez + 2)

 

(z2 + 4)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В-4. a) Z|z−i|=1

 

eiz

 

 

dz, б )Z|z|=1/2

 

 

sin z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 −z2

 

dz.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z2 + 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.3. Найти комплексную первообразную следующих функций:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В-1.

f(z) = eaz cos bz;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В-2.

f(z) = eaz sinh bz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В-3.

f(z) = z3 cosh(az);

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В-4.

f(z) = z3 sin(az);

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.4.

Найти первообразную функции f(z) =

1

 

вдоль пути # , состоящего из

 

z

следующих(последовательно проходимых)дуг:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z−21

'

 

 

 

3

В-1.окружность

 

|z| = 1, отрезок [1, 2] вещественной оси и окружность

 

=

2 (все окружности проходятся в положительном направлении);

 

 

 

 

'

 

 

 

 

 

 

 

В-2.отрезки

 

[1, i]

,

 

 

 

− ,

[

1,

i]

,

 

и

[1, 3]

.

 

 

 

 

 

'

 

 

 

'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[i, 1]

 

 

 

 

 

[ i, 1]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

'

 

 

 

 

 

'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

'

 

 

 

 

 

 

'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p3

 

 

 

 

 

p5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p3

 

 

 

p5

 

 

-3.дуга

 

z +

p3

i

 

 

 

=

p5

 

 

от

1

 

до

 

 

1, проходящая через i/2, и дуга

'

z

 

i

'

=

 

от

В1 до 1,

проходя' 2щая'

че2рез

 

 

i/2;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

'

 

 

 

 

 

 

 

'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

дуга

 

z +

 

 

i

 

=

 

 

 

 

 

от 1 до

1, проходящая через i/2, и отрезки [

1, 2i]

 

В-4.1

+ 3i]. '

 

 

2

 

 

 

'

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и [ 2i, 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

Задача №5.

Ряды Тейлора.

5.1. Непосредственным вычислением соответствующих производных проверить формулы:

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

an

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

 

 

eaz = eaz0

 

 

 

(z − z0)n, z 2 C;

 

=

zn, |z| < 1.

 

 

n!

1 z

 

 

 

 

 

 

 

n=0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n=0

 

 

 

 

 

 

 

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

На основании этих формул получить разложения

 

 

 

В-1.

 

 

p

 

 

1

(−1)

n

 

zn

, z 2 C;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos( z) =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2n)!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n=0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

1

 

z4n

 

 

 

 

В-2.

ez + e−z + 2 cos z = 4

 

 

, z 2 C;

 

 

 

 

 

(4n)!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n=0

 

 

 

 

 

 

 

 

z(z + a)

1 n2zn

 

X

 

 

 

 

 

 

 

В-3.

, |z| < |a|, a 6= 0;

 

 

 

 

 

 

 

 

= n=1

 

 

 

 

 

 

(a

z)3

an+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В-4.

z2 + 4z4 + z6

1

 

n3z2n, |z| < 1.

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

(1 z2)4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.2.Разложить в ряд Тейлора в окрестности точки z0 = 0 следующие функции

инайти радиус сходимости полученных рядов:

2z − 1 В-1. f(z) = 4z3 − 2z|1;

1

В-2. f(z) = (1 + z)(1 + z2)(1 + z4); В-3. sin4 z + cos4 z;

В-4. cosh z cos z.

5.3.Найти первые три отличные от нуля члены разложения в ряд Тейлора в

окрестности точки z0 = 0 следующих функций:

В-1.

f(z) =

z

;

 

ln(1 + z)

 

В-2.

f(z) = tg z;

 

 

В-3.

f(z) = ez cos z;

 

 

В-4.

f(z) =

z

 

.

(1 − z2) sin z

Задача №6.

Изолированные особые точки однозначного характера.Ряды Лорана.

6.1.

Найти все особые точки указанных функций(включая точку 1) и опре -

делить их тип:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В-1.

 

 

 

 

1

 

 

,

 

1

 

 

 

+

1

;

 

1

 

sin z

 

e−z

 

 

z2

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

В-2.

 

 

 

,

 

 

 

 

;

z5 + 2z4 + z3

sin( /(z + 1))

В-3.

 

z −

,

 

 

 

sin z

 

 

;

 

 

 

 

 

z

 

 

+z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

sin

 

 

z

 

e

 

− e

 

 

z+e

 

 

В-4.

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

,

 

e

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z + e

 

 

 

cos z − 1 + 2 z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.2. Найти разложения функции f в ряды Лорана во всех кольцах аналитичности с центром в заданной точке a, а функции g в окрестности точки 0:

В-1. f(z) =

1

 

, a = 1, g(z) =

sin2 z

;

z2(z2 − 9)

z

 

 

 

4

В-2.

f(z) =

1

 

 

 

 

, a = 0, g(z) =

1

+ sin2

2

;

1)(z

2)

z

 

 

 

 

 

 

z

 

В-3.

f(z) =

z(z −z3

 

, a = −1, g(z) =

 

1 + cos z

;

(z + 1)(z − 2)

 

 

z4 z

В-4.

f(z) =

1

 

 

 

 

 

, a = 0, g(z) =

 

1 − e

.

 

 

(z2 − 1)(z2

+ 4)

 

 

 

 

 

 

 

 

z3

 

 

Во всех случаях охарактеризовать все особые точки заданных функций.

6.3. Проверить,что функция f допускает выделение в кольце K голоморфных ветвей и разложить все эти ветви в ряд Лорана в K:

В-1. f(z) = ln (z − 1)(z − 2), K = {1 < |z| < 2}; (z + 1)(z + 2)

В-2. f(z) = ln (z + 1)2 , K = {|z| > 2}; z2 + 4

(z − 1)2

В-3. f(z) = ln (z + 2)(z + 3), K = {|z + 1| > 2};

z(z + 3)

В-4. f(z) = ln (z + 2)(z − 1), K = {1 < |z + 1| < 2}.

Распределение вариантов

№ по списку

Зад.1 Зад.2 Зад.3

1

1,2,3,4

4,3,2

2,3,4

2

2,3,4,1

2,4,1

1,2,3

3

3,4,1,2

3,1,2

1,3,4

4

4,1,2,3

4,1,2

1,2,4

5

1,3,4,2

3,1,2

4,3,1

6

1,2,4,3

1,2,3

4,2,3

7

2,4,3,1

2,3,4

3,1,4

8

1,4,2,3

3,4,1

2,4,1

9

2,1,4,3

4,1,2

4,1,3

10

1,2,4,3

1,2,3

1,3,2

11

4,2,1,3

3,4,2

1,3,3

12

3,4,2,1

1,4,2

4,3,4

13

3,1,2,4

1,4,2

2,4,1

14

4,3,2,1

2,1,4

3,4,2

15

1,4,2,3

3,2,4

1,4,3

16

3,2,4,1

1,2,4

2,4,4

17

2,4,1,3

3,1,4

3,1,1

18

4,3,1,2

1,4,2

1,1,2

19

1,4,2,3

2,4,1

4,1,3

20

3,2,1,4

3,1,4

4,1,4

21

4,1,2,3

3,1,4

3,1,2

22

3,2,4,1

1,2,3

3,2,2

23

4,2,1,3

3,2,1

3,3,1

24

4,3,1,2

4,3,1

3,4,1

5

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]