ТФКП ДЗ1
.pdfКомплексный анализ Домашнее задание №1,часть1 для студентов факультета ФН
4семестр, 2013/2014
Задача №1.
Комплексные числа,геометрия комплексной плоскости.
1.1. а)Вычислить и б)Найти все значения соответствующего выражения: |
|||||||||||||||||
В-1.а) |
|
1 1 i 3! |
|
, б ) |
|
|
p3 + i; |
||||||||||
|
|
+ ip |
|
|
|
5 |
|
3 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
В-2.а) |
|
|
|
− |
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 2i |
|
, б )p3 −1 + i; ; |
|||||||||||||||
|
|
2 + i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
p |
− |
+ i |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
В-3.а) |
|
3 |
|
! |
, б )p4 −2 − 2i; |
||||||||||||
|
1 + i |
|
|||||||||||||||
В-4.а) |
1 + 3i |
|
5 |
, б )p |
1 + p |
|
|
. |
|||||||||
|
|
1 − 2i |
|
|
|
|
|
4 |
|
i |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
1.2. Пусть (z, w) хордальное расстояние между точками z 2 C и w 2 C (т.е. евклидово расстояние в R3 между прообразами этих точек при стереографической проекции).Проверить справедливость формул
(z, w) = |
|
|z − w| |
(z = , w = ), |
(z, ) = |
|
1 |
|
||||||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
и описать |
|
|
|
p |
p |
6 1 6 1 |
1 |
p |
1 + |z|2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
1 + |z|2 1 + |w|2 |
|
||||||||
|
|
множества точек комплексной плоскости,задаваемые соотношениями: |
|||||||||||||
В-1. |
(z, 0) < R, R 2 (0, 1); |
|
|
|
|
|
|||||||||
В-2. |
(z, 1) < R, R 2 (0, 1); |
|
|
|
|
|
|||||||||
В-3. |
p |
2 |
(z, i) > 1; |
|
|
|
|
|
|||||||
В-4. |
1 < 2 (z, 1) < p |
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||
2 |
|
|
|
|
|
1.3. Выяснить,какие множества точек комплексной плоскости удовлетворяют неравенствам:
В-1. |z − i| + |z + i| < 4;
В-2. 0 < arg iz−+zi < 2 ;
В-3. 4 < arg(z + i) < 2 ;
В-4. Re z4 > Im z4.
Задача №2.
Голоморфные функции.Условия Коши–Римана.
2.1.
В-1.
В-2.
В-3.
В-4.
Выяснить,где голоморфны следующие функции и найти их производные: |
||||||||
z cos z |
; |
|
|
|
||||
|
1 + z2 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
1 |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|||||
tg z + ctg z |
|
|||||||
|
|
cos z |
; |
|||||
|
z |
|
− |
sin z |
||||
cos z |
|
|
|
|||||
|
e |
+ 1 |
. |
|
|
|
||
ez − 1 |
|
|
|
|
2.2. Проверить,что заданная функция может быть вещественной(мнимой) частью голоморфной всюду в C функции f.Найти соответствующую функцию f.
В-1. Re f = x3 + 6x2y − 3xy2 − 2y3, f(0) = 0;
1
В-2. Re f = ex(x cos y − y sin y), f(0) = 0;
В-3. Re f = x cos x cosh y + y sin x sinh y, f(0) = 0; В-4. Im f = y cos y cosh x + x sin y sinh y, f(0) = 0.
2.3. Пусть функция f = u + iv является C-дифференцируемой в точке z0 = x0 + iy0.Доказать справедливость формул:
В-1. f0(z0) = u0x(x0, y0) + ivx0 (x0, y0); В-2. f0(z0) = vy0 (x0, y0) − iu0y(x0, y0); В-3. f0(z0) = u0x(x0, y0) − iu0y(x0, y0); В-4. f0(z0) = vy0 (x0, y0) + ivx0 (x0, y0).
Проверить вычисления в п. 2.1при помощи этих формул.
Задача №3.
Элементарные функции комплексного переменного и их свойства
3.1.Решить следующие уравнения(ответы представить в экспоненциальной, тригонометрической и алгебраической формах):
В-1. e2z + e−2z − 3 = 0;
В-2. sinh iz = −i;
В-3. eix = cos x, x 2 R;
В-4. ln(z + i) = i.
3.2.a)Найти коэффициент растяжения и угол поворота при отображении
w = f(z) в точках z1 и z2,и б)Выяснить,какая часть комплексной плоскости растягивается,а какая сжимается при следующих отображениях:
В-1.а) f(z) = ez, z1 = ln 2 + i 4 , z2 = −1 − i 2 , и б )w = ln z; В-2.а) f(z) = sin z, z1 = 0, z2 = 1 + i, и б )w = z3;
В-3.а) f(z) = z3, z1 = 2 − i, z2 = 1 + i 2 , и б )w = ln z; В-4.а) f(z) = cosh z, z1 = 1 − i, z2 = 1, и б )w = 1/z;
|
Распределение вариантов |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
№ по списку |
Зад.1 |
Зад.2 |
Зад.3 |
|
|
1,17 |
1,2,3 |
4,3,2 |
|
1,1 |
|
2,18 |
2,3,4 |
3,2,1 |
|
1,2 |
|
3,19 |
3,4,1 |
2,1,4 |
|
1,3 |
|
4,20 |
4,1,2 |
1,2,3 |
|
1,4 |
|
5,21 |
1,2,3 |
4,3,2 |
|
2,1 |
|
6,22 |
2,3,4 |
3,2,1 |
|
2,2 |
|
7,23 |
3,4,1 |
2,1,4 |
|
2,3 |
|
8,24 |
4,1,2 |
1,2,3 |
|
2,4 |
|
9,25 |
1,2,3 |
4,3,2 |
|
3,1 |
|
10,26 |
2,3,4 |
3,2,1 |
|
3,2 |
|
11,27 |
3,4,1 |
2,1,4 |
|
3,3 |
|
12,28 |
4,1,2 |
1,2,3 |
|
3,4 |
|
13,29 |
1,2,3 |
4,3,2 |
|
4,1 |
|
14,30 |
2,3,4 |
3,2,1 |
|
4,2 |
|
15,31 |
3,4,1 |
2,1,4 |
|
4,3 |
|
16,32 |
4,1,2 |
1,2,3 |
|
4,4 |
2
Комплексный анализ Домашнее задание №1,часть2 для студентов факультета ФН
4семестр, 2013/2014
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача №4. |
|
|
|
|
|
|
|
||
Интегрирование функций комплексного переменного. |
|
|
|
|
|||||||||||||||
4.1. |
Вычислить интеграл: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
Z" |
dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
В-1. |
p4 |
z34, где # верхняя половина окружности {|z| = 1} и берется та |
|||||||||||||||||
ветвь функции p |
|
для которой p4 |
|
= 1; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
z3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
В-2. |
Z" |
ln(z + 1) |
dz, где # соединяющая точки 1 |
и i дуга окружности |z| = 1, |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
z + 1 |
|||||||||||||||||||
лежащая в первом квадранте; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
В-3. |
Z" |
ln z |
dz, где # отрезок прямой , соединяющей точки1 и i; |
||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||
z |
|||||||||||||||||||
|
Z" |
dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
В-4. |
p |
|
, |
где # верхняя половина окружности |z| |
= 1, проходимая от |
||||||||||||||
z |
|||||||||||||||||||
точки −1 до точки 1,а ветвь корня выбрана условием |
p |
|
|
|
p |
|
(1 − i). |
||||||||||||
−i |
= |
|
2 |
||||||||||||||||
|
2 |
||||||||||||||||||
4.2. |
Применив интегральную формулу Коши(или интегральную формулу Ко- |
ши для производных)вычислить интегралы: (считать все окружности положитель-
но ориентированными): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
В-1. a) Z|z|=1 |
|
|
ez |
|
|
|
dz, б )Z|z|=2 |
|
z sinh z |
dz; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
z2 + 2z |
(z2 − 1)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
В-2. a) Z|z|=2 |
|
|
sin(iz) |
|
|
|
dz, б )Z|z−3|=6 |
|
|
z dz |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
z2 − 4z + 3 |
(z − 2)3(z + 4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
В-3. a) Z|z|=3 |
cos(z + i) |
dz, б )Z|z−2|=1 |
|
e1/z |
|
dz; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
z(ez + 2) |
|
(z2 + 4)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
В-4. a) Z|z−i|=1 |
|
eiz |
|
|
dz, б )Z|z|=1/2 |
|
|
sin z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 −z2 |
|
dz. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
z2 + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
4.3. Найти комплексную первообразную следующих функций: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
В-1. |
f(z) = eaz cos bz; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
В-2. |
f(z) = eaz sinh bz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
В-3. |
f(z) = z3 cosh(az); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
В-4. |
f(z) = z3 sin(az); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
4.4. |
Найти первообразную функции f(z) = |
1 |
|
вдоль пути # , состоящего из |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
z |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
следующих(последовательно проходимых)дуг: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z−21 |
' |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
В-1.окружность |
|
|z| = 1, отрезок [1, 2] вещественной оси и окружность |
|
= |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 (все окружности проходятся в положительном направлении); |
|
|
|
|
' |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
В-2.отрезки |
|
[1, i] |
, |
|
|
|
− , |
[ |
− |
1, |
− |
i] |
, |
|
− |
и |
[1, 3] |
. |
|
|
|
|
|
' |
|
|
|
' |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
[i, 1] |
|
|
|
|
|
[ i, 1] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
− |
|
' |
|
|
|
|
|
' |
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
' |
|
|
|
|
|
|
' |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
p3 |
|
|
|
|
|
p5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p3 |
|
|
|
p5 |
|
||||||||||||||||
|
-3.дуга |
|
z + |
p3 |
i |
|
|
|
= |
p5 |
|
|
от |
1 |
|
до |
|
|
1, проходящая через i/2, и дуга |
' |
z |
|
i |
' |
= |
|
||||||||||||||||||||||||||||
от |
В1 до 1, |
проходя' 2щая' |
че2рез |
|
|
i/2;− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 2 |
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
− |
|
' |
|
|
|
|
|
|
|
' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дуга |
|
z + |
|
|
i |
|
= |
|
|
|
|
|
от 1 до |
− |
1, проходящая через i/2, и отрезки [ |
− |
1, 2i] |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
В-4.1 |
+ 3i]. ' |
|
|
2 |
|
|
|
' |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
||||||||||
и [ 2i, 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3
Задача №5.
Ряды Тейлора.
5.1. Непосредственным вычислением соответствующих производных проверить формулы:
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
an |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
||
|
|
eaz = eaz0 |
|
|
|
(z − z0)n, z 2 C; |
|
= |
zn, |z| < 1. |
|||||||||||||
|
|
n! |
1 z |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
||
На основании этих формул получить разложения |
|
|
|
|||||||||||||||||||
В-1. |
|
|
p |
|
|
1 |
(−1) |
n |
|
zn |
, z 2 C; |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
cos( z) = |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
(2n)! |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
1 |
|
z4n |
|
|
|
|
|||||||
В-2. |
ez + e−z + 2 cos z = 4 |
|
|
, z 2 C; |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
(4n)! |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
z(z + a) |
1 n2zn |
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
В-3. |
, |z| < |a|, a 6= 0; |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
= n=1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
(a |
− |
z)3 |
an+1 |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
В-4. |
z2 + 4z4 + z6 |
1 |
|
n3z2n, |z| < 1. |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
(1 z2)4 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.2.Разложить в ряд Тейлора в окрестности точки z0 = 0 следующие функции
инайти радиус сходимости полученных рядов:
2z − 1 В-1. f(z) = 4z3 − 2z|1;
1
В-2. f(z) = (1 + z)(1 + z2)(1 + z4); В-3. sin4 z + cos4 z;
В-4. cosh z cos z.
5.3.Найти первые три отличные от нуля члены разложения в ряд Тейлора в
окрестности точки z0 = 0 следующих функций: |
||||
В-1. |
f(z) = |
z |
; |
|
ln(1 + z) |
|
|||
В-2. |
f(z) = tg z; |
|
|
|
В-3. |
f(z) = ez cos z; |
|
|
|
В-4. |
f(z) = |
z |
|
. |
(1 − z2) sin z |
Задача №6.
Изолированные особые точки однозначного характера.Ряды Лорана.
6.1. |
Найти все особые точки указанных функций(включая точку 1) и опре - |
|||||||||||||||||||||
делить их тип: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
В-1. |
|
|
|
|
1 |
|
|
, |
|
1 |
|
|
|
+ |
1 |
; |
|
|||||
1 |
− |
|
sin z |
|
e−z |
− |
|
|
z2 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||||||
В-2. |
|
|
|
, |
|
|
|
|
; |
|||||||||||||
z5 + 2z4 + z3 |
sin( /(z + 1)) |
|||||||||||||||||||||
В-3. |
|
z − |
, |
|
|
|
sin z |
|
|
; |
|
|
|
|
||||||||
|
z |
|
|
+z |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
sin |
|
|
z |
|
e |
|
− e |
|
|
− z+e |
|
|
||||||||
В-4. |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
, |
|
e |
. |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z + e |
|
|
||||||||
|
cos z − 1 + 2 z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6.2. Найти разложения функции f в ряды Лорана во всех кольцах аналитичности с центром в заданной точке a, а функции g в окрестности точки 0:
В-1. f(z) = |
1 |
|
, a = 1, g(z) = |
sin2 z |
; |
|
z2(z2 − 9) |
z |
|||||
|
|
|
4
В-2. |
f(z) = |
1 |
|
|
|
|
, a = 0, g(z) = |
1 |
+ sin2 |
2 |
; |
||||
1)(z |
− |
2) |
z |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
z |
|
|||||||||
В-3. |
f(z) = |
z(z −z3 |
|
, a = −1, g(z) = |
|
1 + cos z |
; |
||||||||
(z + 1)(z − 2) |
|
|
z4 z |
||||||||||||
В-4. |
f(z) = |
1 |
|
|
|
|
|
, a = 0, g(z) = |
|
1 − e− |
. |
|
|
||
(z2 − 1)(z2 |
+ 4) |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
z3 |
|
|
Во всех случаях охарактеризовать все особые точки заданных функций.
6.3. Проверить,что функция f допускает выделение в кольце K голоморфных ветвей и разложить все эти ветви в ряд Лорана в K:
В-1. f(z) = ln (z − 1)(z − 2), K = {1 < |z| < 2}; (z + 1)(z + 2)
В-2. f(z) = ln (z + 1)2 , K = {|z| > 2}; z2 + 4
(z − 1)2
В-3. f(z) = ln (z + 2)(z + 3), K = {|z + 1| > 2};
z(z + 3)
В-4. f(z) = ln (z + 2)(z − 1), K = {1 < |z + 1| < 2}.
Распределение вариантов
№ по списку |
Зад.1 Зад.2 Зад.3 |
||
1 |
1,2,3,4 |
4,3,2 |
2,3,4 |
2 |
2,3,4,1 |
2,4,1 |
1,2,3 |
3 |
3,4,1,2 |
3,1,2 |
1,3,4 |
4 |
4,1,2,3 |
4,1,2 |
1,2,4 |
5 |
1,3,4,2 |
3,1,2 |
4,3,1 |
6 |
1,2,4,3 |
1,2,3 |
4,2,3 |
7 |
2,4,3,1 |
2,3,4 |
3,1,4 |
8 |
1,4,2,3 |
3,4,1 |
2,4,1 |
9 |
2,1,4,3 |
4,1,2 |
4,1,3 |
10 |
1,2,4,3 |
1,2,3 |
1,3,2 |
11 |
4,2,1,3 |
3,4,2 |
1,3,3 |
12 |
3,4,2,1 |
1,4,2 |
4,3,4 |
13 |
3,1,2,4 |
1,4,2 |
2,4,1 |
14 |
4,3,2,1 |
2,1,4 |
3,4,2 |
15 |
1,4,2,3 |
3,2,4 |
1,4,3 |
16 |
3,2,4,1 |
1,2,4 |
2,4,4 |
17 |
2,4,1,3 |
3,1,4 |
3,1,1 |
18 |
4,3,1,2 |
1,4,2 |
1,1,2 |
19 |
1,4,2,3 |
2,4,1 |
4,1,3 |
20 |
3,2,1,4 |
3,1,4 |
4,1,4 |
21 |
4,1,2,3 |
3,1,4 |
3,1,2 |
22 |
3,2,4,1 |
1,2,3 |
3,2,2 |
23 |
4,2,1,3 |
3,2,1 |
3,3,1 |
24 |
4,3,1,2 |
4,3,1 |
3,4,1 |
5